Этапы алгоритма Шора
0. Подготовительный этап. Установка регистров в нулевое состояние.
1.Перевод регистров в равновесное состояние. 2.Вычисление степеней аx в регистре Y, измерение состояния регистра.
3. Предвычисление периода с помощью квантового преобразования Фурье.
4. Вычисление периода на основе подходящих дробей. (на обычном компьютере)
44
Рис. 5. Инициализация регистров
1 Hn 0
0
Рис. 6. Применение преобразования Адамара к регистру |x>
45
Рис. 7. Применение квантового возведения в степень |
46 |
Измерение состояния регистра Y 
Например, фиксированному состоянию |
|
y 8 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
соответствует |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Последовательность |
значений |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
11 ... |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
j 0 |
|
r j l |
|
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
А 1 |
A 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где А наибольшее целое меньшее, чем ( N l ) / r, |
A N / r. |
|||||||||||||||||||||
Состояние рег. Х при измеренном сост. рег.. У
l |
xi ji r l, |
|
r |
||
|
Вычисление периода
Из этого состояния мы хотим выделить информацию о периоде r. Временно сделаем предположение, что l при разных испытаниях принимает
одно и тоже значение. Пусть мы провели 3 испытания и получили три копии 2
x1 j1r l, |
x2 j2r l, x3 j3r l, |
|
Далее находим |
x1 x2 ( j1 j2 )r, |
x1 x3 ( j1 j3 )r |
Поскольку j равновероятны, то с высокой вероятностью gcd(j1 j2 , j1 j3 ) 1
Поэтому период легко вычисляется так как
gcd(x1 x2 ,x1 x3 ) gcd((j1 j2 )r,( j1 j3 )r) r
Пример: x1 27, x2 15, x3 7,
gcd(x1 x2 ,x1 x3 ) gcd(( 27 15 ),( 27 7 )) gcd(12,20 ) 4
К сожалению, l изменяется случайно (определяется случайным измерением регистра Y 
, поэтому принципиально необходимо применение квантового преобразования Фурье, устраняющего этот недостаток.
48
|
|
|
Случай, когда |
l 0 |
|
|
|
|||||
Рассмотрим сначала частный случай, когда r делит N нацело. Тогда |
A N / |
r |
||||||||||
Запишем состояние регистра x |
в следующем виде |
|
|
N 1 |
|
|
||||||
l |
|
f (x) x |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
f (x) r / N , если x l кратно r, |
|
|
|
|
|
Это λ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x) 0, если x l не кратно r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда состояние регистра можно переписать так |
|
|
r |
N / r 1 |
|
|
||||||
l |
|
|
jr l |
|
|
|||||||
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
j 0 |
|
|
l |
r |
r |
r |
амплитуда |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r / |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Свойство временного сдвига преобразовагия Фурье |
|
|
||||||||||
Пусть известно преобразоваие Фурье функции f(t): f (t) F( ) , |
|
|
||||||||||
Тогда для функции f(t-l) преобразование Фурье |
имеет вид |
|
|
|||||||||
f (t l) F( )e i l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из данного свойства следует, что при временном сдвиге функции на l |
|
|||||||||||
ее амплитудный спектр |
F ( ) |
не изменяется. Изменения происходят |
|
|||||||||
только в фазовом спектре на величину |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для квантовых вычислений общий сдвиг фазы на амлитуды состояний не |
|
|||||||||||
влияет . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример дискретного преобразования Фурье для функции f ( x ) 2x mod 15
|
1 |
N 1 |
2 i |
jk |
yk |
|
|||
|
x je |
|
N |
N j 0
50
Квантовое преобразование Фурье
Выполняя ДПФ для состояния |
|
l |
, получаем |
DFT |
|
l f ( c ) |
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
где амплитуда |
f ( c )DFT от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
f (x) |
N/r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (c) |
|
r N / r 1 |
2 i( jr l )c |
|
|
|
N / r 1 |
|
|
|
|
jc |
|
|
lc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
exp( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
exp( 2 i |
|
|
) exp( 2 i |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
N / r |
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
N |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя свойство комплексной функции в показательной форме, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
jn |
T ,n 0 mod T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
exp 2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
можно записать, что в последнем выражении |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
|
0,n 0 mod T |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
член в квадратных скобках равен нулю за исключением с кратных N/r |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
|
|
r N |
|
|
|
|
|
lc |
|
|
1 |
|
|
|
lc |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
exp( 2 i |
) |
|
exp( 2 i |
), если c кратно |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N r |
|
N |
r |
N |
r |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, в противном случае. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( c ) |
N/r |
N/r |
N/r |
N/r |
|
|
амплитуда |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
0 |
|
|
|
|
r-1 |
|
c |
|
|
|
|
Полагая,c j |
N |
запишем |
|
DFT |
|
|
1 |
r 1 exp( 2 i |
jl ) j |
N |
|
|
|
r |
|
|
|
l |
|
r |
j 0 |
r |
r |
51
Для нашего примера f ( x ) 2x mod 15 состояние регистра после КПФ будет таким, как показано на рисунке, то есть, ненулевые вероятности имеют состояния 
Вероятность какого либо состояния: c j |
|
|
N |
|
|
|
||||||||
|
|
r |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
N |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
c |
|
|
|
exp( 2 ij( rc mod N ) / N ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После преобразований можно получить |
P |
|
c |
4 |
1 |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
2 |
r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно мы хотим выделить информацию о периоде r. Для этого проводится измерение состояния регистра x
Пусть с=64, тогда j/r=64/256=1/4 |
|
откуда r=4 - период найден |
53 |
Случай, когда r не делит N
Мы рассмотрели частный случай, когда r делит N нацело,т.е. rc mod N 0 Если от этого условия отказаться, то
r / 2 rc mod N r / 2 |
(1) |
|||||||||||||||
Пусть rc mod N kN r / 2 |
|
|
, тогда условие (1) запишем так |
|||||||||||||
|
rc kN |
|
|
r / 2 |
( 2 ) |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Разделав обе части (2) на Nr, получим |
|
|||||||||||||||
|
|
|
c |
|
k |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r |
2N |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По результатам измерения регистра |
|
x |
мы получили величину c/N, |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
тогда, используя разложение c/N в цепную дробь, можно рассчитать |
||||||||||||||||
подходящую дробь k/r и найти r. |
|
|||||||||||||||
Вероятность успеха |
P c 0.4 |
. Для повышения вероятности проводим |
||||||||||||||
испытания несколько раз с разными значениями a.
1018
55