Пример ИОС
a=7/27
9/27
-9/27
5/27 23/27
N=9, vi=1/3, vx= -1/3
Среднее значение a=7/27 После ИОС получаем v’i=5/27, vx=23/27
22
Примеры применения процедуры ИОС при разны N=2n
n=7 |
n=8 |
n=9 |
n=10 |
23
Этапы алгоритма Гровера
. Создаем регистр из n кубитов и устанавливаем все
азряды в состояние 0 
0 (n)
. Применяем преобразование Адамара, получаем состояние
аждой ячейки |
|
1 |
|
1 |
( |
|
0 |
|
1 -) равновероятное состояние. |
|
|
|
|||||||
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Находим значение функции f(x), применяя оператор
U ( 1)f (x)
ри х=х0 f(x0)=1 и U=-1, при других х f(x)=0 и U=1.
сли U=1, то ячейка остается в исходном состоянии, если |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
=-1, то изменяет состояние |
U |
|
1 |
|
1 |
( |
|
0 ( 1) f ( x) |
|
1 ( 1) f ( x) ) |
1 |
( |
|
0 |
|
|
1 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. Все состояния равновероятные, но одно из них противо- оложное другим состояниям. Нужно повысить его вероятность. рименяем метод усиления амплитуды (инверсии относительно
реднего.) |
24 |
Пример алгоритма Гровера
• Задана булева функция от n аргументов
f (x0 , x1, , xn ) , которая принимает значение 1 только при одном наборе аргументов.
Нужно найти это состояние. Решение.
1 этап. Подготавливает начальное состояние
0 0,0, .0
, т.е. все ячейки квантового регистра устанавливаются в состоянии 0. Или все кубиты в нулевом состоянии.
|
0 |
0 |
|
x0 |
1 |
|
x1 |
2n 1 |
|
x2n 1 |
1 |
|
x0 |
0 |
|
x1 |
0 |
|
x262n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представление булевой функции таблицей истинности
x |
x3 |
x2 |
x1 |
y=f(x1,x2,x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
x4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
x5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
x |
1 |
1 |
0 |
0 |
6 |
|
|
|
|
x7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
27
Далее рассмотрим преобразование для функции от 3-х аргументов
• 2 этап. Приготавливаем смесь равновероятных состояний 1 
H3 0 
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0,354 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 2 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
Состояние 1 
является суперпозицией 2n возможных состояний системы из n кубитов.
Построение матриц Адамара
H0 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
Hn 1 |
|
|
Hn 1 |
|
|
|||||||||||
Hn |
1 |
|
Hn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
Hn 1 |
|
Hn 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
1 |
|
H2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
29
3 этап. Несколько раз применяем оператор
G RU f |
|
2 |
G G |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
f (000) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f (001) |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
U f |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0
0
1 f (111)
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
0 |
|
|
|||
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
||
|
0 |
||
|
|||
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(пустые места в матрице нули)
0 0 0 0
1
1
1
1
0 0 0 0
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|||
30
|
1 |
2n |
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 1 |
|
|
R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|||
12n 1
12n 1 1
12n 1
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
n 1 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n 1 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
14 |
|||
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2n |
1 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
14 |
14 |
14 |
14 |
14 |
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4 14 14 14 14 14 14
4
4
14
14
14
14
14
3
4
Так называемый оператор диффузии
31
Результаты преобразования
|
|
|
|
0,177 |
|
|
|
|
|
0,088 |
|
|
|
|
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
0,177 |
|
|
|
|
|
0,088 |
|
|
|
|
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,177 |
|
|
|
|
|
0,088 |
|
|
|
|
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G |
|
1 |
|
0,177 |
|
GG |
|
1 |
|
0,088 |
|
GGG |
|
1 |
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0,177 |
|
|
|
|
|
0,088 |
|
|
|
|
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0,177 |
|
|
|
|
|
0,088 |
|
|
|
|
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0,177 |
|
|
|
|
|
0,088 |
|
|
|
|
|
|
|
0.305 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,884 |
|
|
|
|
|
0,972 |
|
|
|
|
|
|
|
0,575 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оптимальное число применений оператора G |
|
2n раз. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Состояние соответствующее решению уравнения
f(x)=1, будет иметь максимальную амплитуду и может появиться в процессе измерения с максимальной вероятностью. Вероятность получить неправильный результат в алгоритме Гровера оценивается как
O(1/2n). |
|
Решение задачи алгоритмом Гровера требует O(2n/2 ) |
операций. |
Классический переборный алгоритм требует O(2n 1) |
операций. |
32