2_KS_Rabina

Дешифрование криптограммы

1) Зная р и q, пользователь А реализует полиномиально сложный

2) используя избыточность, содержащуюся в сообщении, пользователь А определяет какое из этих четырех сообщений является истинным. Если в сообщении отсутствует естественная избыточность, то ее необходимо ввести до шифрования (например, повторив несколько последних бит сообщения).

Первый метод дешифрования

Известна криптограмма С и закрытый ключ – числа p и q

1. Находим корни уравнений

Если p=4k+3, где k положительное целое число.

То числа r,s находятся просто:

p 1

-найти r C 4 mod p

-выдать в качестве ответа (r,-r). p 1

-выдать в качестве ответа (s,-s).

Если p=4k+1, то используем более сложный метод – алгоритм Чипполы

Можно проверить, что значение символа Лежандра для 10 равно 1,т.е. в поле GF(13) корень из 10 существует.

Шаг 1. подбором находим число b такое, что b^2-10 оказывается невычетом.

(2 6)7 mod13 (2 6)2 (2 6)2 (2 6)2 (2 6) mod13

( 2 4 6)( 2 4 6)( 2 4 6)(2 6) mod13

(9 2 6)(2 6) mod13 6

2. Составляем 4 системы уравнений:

Каждую систему решаем, используя китайскую

3. Одно из этих решений и есть открытое сообщение

M xi

Второй метод решения квадратного уравнения по составному модулю

1)вычисляют a mod p , т. е. находят два корня r , r по mod p;

2)аналогично вычисляют корни s , s по mod q;

3)используя рассмотренный в разд. 2 алгоритм, находят числа c и d,

Видно, что схема Рабина обеспечивает простое генерирование ключей, а также весьма простой алгоритм шифрования, но имеет сложный алгоритм дешифрования. Данный метод можно рекомендовать в тех случаях, где шифрование должно быть простым, а при дешифровании этого не требуется.

Истинное сообщение из 4-х возможных находится на основе анализа избыточности сообщения. При отсутствии избыточности она должна быть внесена в сообщение до его шифрования, например, путем повторения некоторых символов.

Пояснение к теореме оценки стойкости схемы Рабина

Прямая теорема

Если решена задача факторизации числа n=pq за полиномиальное

время каким-то алгоритмом, то за полиномиальное время может быть решена задача факторизации n=pq.

Система называется доказуемо стойкой, если ее вскрытие невозможно без решения вычислительно трудной задачи

Доказательство теоремы

Выберем случайное целое число m, 0<m<n и найдем С=m2modn. Решим уравнение x2=Cmodn, используя алгоритм R при помощи F(n)

Множители p и q -найдены

Заметим. Что из 4 решений подходят только 2, не подходят случаи x=m, y=m

и x=-m, y=-m.

Криптосистема М2 Уильямса (Williams) 1980

•Криптосистема Рабина имеет недостаток, заключающийся в неоднозначности дешифрования криптограммы. Этот недостаток преодолевается в М2 Уильямса.

Генерирование ключей:

• 1) необходимо генерировать два простых числа р и q примерно