1.2 Решение системы линейных уравнений на основе китайской теореме об остатках

m1, m2 , , mr

для .

i j

gcd mi , m j 1

Пусть числа такие что

Тогда система уравнений

x a mod m ;

1

1

x a2

mod m2

;

(2.6)

x ar

mod mr

x'

x"

имеет целочисленное решение и при этом, если два числа

и

различнве

решения данной системы, то они удовлетворяют сравнению

x' x'' mod М

(2.7)

M m1 m2 mr

где

Обозначим

M i M

. Очевидно, что

gcd mi , M i 1

mi

, поэтому существует обратный

-1

-

,

M i Ni 1mod mi

элемент Ni к Mi по mod mi, т. е. Mi

= Ni

, который может быть

Тогда получаем

x ai M i Ni mod mi

, при i = 1, 2, … , r ,

, 1

и поэтому x = a mod m

i

i

•

Цепная дробь [a0 , a1, , an ]

определяется как

формальная сумма

1

a0

a1

1

a2

1

a

1

n 1

an

Числа a0 , a1, , ak k=0,1,…..,n называются неполными

частными цепной дроби

•

а величины k [ak , ak 1, , an ]

[ 3, 2,1, 4] 3

1

47

1

13

2

1 1

4

Неполные частные имеют вид

a 0 3 a 1 2

a 2 1

a

3 4

полные частные имеют вид

0 [ 3, 2,1, 4] 3

1

47

2

1

13

1

1

[2,1, 4] 2

1

14

4

1

1

1

5

4

1

[ 3, 2] 3 1

5

2

2

2

[ 3, 2,1] 3

1

8

1

3

2

1

3 [ 3, 2,1, 4] 3

1

47

1

13

2

1 1

4

качестве неполных частных искомой дроби

P

173

173 281 0 173

Q

281

281 173 1 108

173 108 1 65

P

173 [0,1,1,1,1,1,1, 21]

108 65 1 43

Q

281

65 43 1 22

43 22 1 421

• Подходящие дроби можно представить рациональными

числами

Pk

k=0,1,…..,n .

P0

a0

Qk

P1

a0a1 1

Pk

ak Pk 1 Pk 2

0

1

k

для

k 2

Q0

Q1

Qk

1

a1

ak Qk 1 Qk 2

1.

P Q

P

Q ( 1)n 1

7.

Если

a [a0 , a1, , a , ],

то

n n 1

n 1

n

0 2 2k a 2k 1 3 1

2.

PnQn 2 Pn 2Qn ( 1)

n 1

an

3. (PnQn ) 1

8.

Если

a [a0

,a1, ,a , ], то

a

n

1

4. 1 Q0 Q1 Q2

QnQn 1 1

5.

Если P0 1, то P1

P2

6.

n n 1

( 1)n 1

QnQn 1

П.1 Любая подходящая дробь

k

[a , a

, , a ], k 0,1, 2

0 1

k