Изучено в V семестре Криптографические методы защиты информации”

Часть II. Криптосистемы с открытым ключом

1.Принцип построения криптографии с открытым ключом (ОК) 2. Математический базис КОК:

Представление чисел в различных позиционных системах. Битовые операции

Делимость. Алгоритм Евклида Операции по числовому модулю (сравнения, конгруэнтность) Возведение в степень Вычисление дискретного логарифма

Малая теорема Ферма, теорема Эйлера (обобщение теоремы Ферма) Важнейшие тесты по проверке простоты чисел 3. Построение криптосистем с открытым ключом

Криптосистема РША (Райвеста–Шамирa–Адлемана)

VI семестр

Часть 3. Криптопротоколы

•Криптосистемы на эллиптических кривых, Стандарт ЭЦП 34.10 -2012

•Математический базис КП (квадратичный вычет, непрерывные дроби, решение квадратного кравнения по модулю, китайская теорема об остатках).

•Анализ стойкости КС РША

•КС Рабина, Уильямса, Голдвассера-Микали

•Квантовый компьютер и КС устойчивые к квантовому компьютеру.

•Постквантовая криптография, КС Мас-Элис

•Гомоморфное шифрование, криптосистема Пэйе

•Криптопротоколы:

--скрытое вычисление точек интереса

--разделение секрета

--дистанционное электронное голосование

--доказательства с нулевым разглашением секрета

--поручительство

--распределения ключей

• Российская система дистанционного электронного голосования

Лекция 0 Криптосистемы на эллиптических кривых

Стандарт цифровой подписи на основе эллиптической кривой Р34.10-2012 г.

1.Криптографические системы на эллиптических кривых

1.1 Понятия группы и поля

Понятие группы

Группой G называется множество элементов , , …обладающее,

1. Определена некоторая операция двух переменных,+ = (операция сложения) или = (операция умножения).

2.Свойство замкнутости

Врезультате применения операции к двум элементам группы также получается элемент этой группы G;

3. Свойство ассоциативности (не имеет значения в каком порядке применяется операция группы)

( + )+ = +( + ) или ( ) = ( ) ;

3. В группе существует единичный (нейтральный) элемент, который обозначается как 0 для сложения и как 1 для умножения. То есть для любого элемента группы справедливо 0+ = +0= или 1 = 1 = ;

4. Каждый элемент группы обладает обратным элементом, который обозначается как - для сложения, при этом +(- )=0, или как -1 для умножения, при этом -1 =1.

Примеры группы

Аддитивная группа - группа с операцией сложения.

1.Множество целых чисел

2.Множество всех четных чисел

3.Множество рациональных чисел.

Мультипликативная группа.

1. Множество положительных действительных чисел

Элементы в группе не обязательно могут быть числами, полиномами, матрицами и другими объектами; они могут быть также правилами, отображениями. функциями, действиями.

1.2 Элементы теории конечных полей

Определение. Конечным полем (GF q - полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения и деления. Эти операции обладают следующими свойствами:

2.a,b GF q , a b GF q ;

3.a b b a ;

4.a b b a ;

5.a b c a b c a b c ;

6.a b c a b a c ;

7.элемент «0» GF q , a O a , a GF q

8.элемент «-a» GF q , такой, что a a O , a GF q

9.элемент «e» GF q , a e a , a GF q

10.a GF q , a 0 , a 1 : a a 1 e

Определение 2. Характеристикой «р» конечного поля GF q

Характеристика любого конечного поля всегда будет простым числом.

Пусть a,b GF pn , тогда a b p a p b p .

Утверждение 1. В любом конечном поле GF q характеристики «р», существует простое подполе GF p , включенное в GF q .