5

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)

Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Криптографические протоколы

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №5

«ИЗУЧЕНИЕ КВАНТОВОГО АЛГОРИТМА ШОРА ФАКТОРИЗАЦИИ МОДУЛЯ КРИПТОСИСТЕМЫ РША»

(тема отчета)

10.03.01 Информационная безопасность

(код и наименование направления/специальности)

Студент:

Травкина Е.А., ИКБ-14

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Преподаватель:

д-р техн. наук, проф., Яковлев В.А.

(уч. степень, уч. звание, Ф.И.О.) (подпись)

Цель лабораторной работы

Ознакомление с квантовым алгоритмом факторизации Шора и основами квантовых вычислений, наблюдение принципа работы квантового алгоритма в симуляции. Изучение способа факторизации модуля методом поиска периода для взлома криптосистем РША.

Таблица 1

№
19	5	33

Ход выполнения лабораторной работы

1. Найти период функции , где , методом простого перебора. Использовать найденный период для факторизации модуля. Параметры a и M заданы в соответствии с вариантом из таблицы 1.

Таблица 1. Функция

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
					31	23							25

Найденный период: r = 10. Так как число r нечетное, то его можно представить как r = 2k, где k = 5

Следовательно, с помощью алгоритма Евклида мы можем найти числа p и q как и .

= 3

= 11

Проверяем:

Вывод: таким образом, была произведена успешная факторизация модуля и получено его разложение как

2. Ознакомиться с квантовой частью алгоритма Шора и выполнить вручную процесс квантового возведения в степень в виде записи состояния регистров для двух периодов. Выбрать любое значение y = 5 и составить для него суперпозицию состояний регистра .

Для данного варианта , . Тогда , а состояние будет иметь вид:

.

Тогда каждому фиксированному состоянию регистра , соответствует последовательность значений регистра (Таблица 2):

А

Таблица 2. Состояния регистров

…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

После измерения состояния регистра в соответствии с заданием мы получили фиксированное состояние , которому соответствует последовательность значений х вида:

,

где – сдвиг относительно начала координат (нулевого состояния регистра , ).

Таким образом, было рассмотрено состояние регистров на этапе выполнения квантового возведения в степень и получена суперпозиция состояний в регистре , соответствующих фиксированному состоянию регистра – .

3. Выполним факторизацию числа М на основе квантового алгоритма Шора с помощью программы-симулятора QuantumSimulator.exe.

Введем в программу модуль M = 33 и факторизуем.

Рассмотрим процесс симуляции выполнения квантового алгоритма Шора для модуля . Можно брать модуль как в соответствии с вариантом, так и произвольный: это должно быть число меньше 100, являющееся произведением двух простых чисел.

Программой было выбрано целое число , количество кубит, необходимое для задания размера квантовых регистров и, соответственно, в этом случае количество состояний каждого регистра .

Проверим: – верное, – верное

Далее пользователю предлагается ознакомиться с процессом выполнения шагов квантового алгоритма Шора и изучить содержание соответствующих вкладок симулятора.

По результатам наблюдения следует сделать выводы:

В результате выполнения квантового возведения в степень для функции для всех состояний регистра , в регистре были получены следующие значения: , как можно увидеть:

В результате измерения состояния регистра было получено фиксированное значение , которому соответствует суперпозиция периодических последовательностей состояний в регистре .

Эта суперпозиция может быть описана как:

.

В результате применения для суперпозиции, содержащейся в регистре , квантового преобразования Фурье, были получены следующие значения (Рис. 6):

Рис.6. - Квантовое преобразование Фурье над регистром

В результате измерения состояния регистра из упомянутой выше последовательности значений было выбрано фиксированное значение , но, как можно увидеть на Рис. 7

Рис. 7 - Измерение состояния квантового регистра

Дробь вида передана на постобработку, которая выполняется на классическом компьютере. Произведено разложение непрерывной дроби и получены возможные периоды . Из них условиям, необходимым для определения периода, удовлетворяет только : – четное число. Можно убедиться в этом на рисунке снизу:

Найдите подходящие дроби для k=0,1,2,3,4

K	0	1	2	3	4
qk	q=0	q=9	q=1	q=101	q=2
Pk	0	1	1	102	205
Qk	1	9	10	1019	2048

На основании полученного значения рассчитаем коэффициенты разложения :

Пробуем вычислить p на основании полученного q: p = M/q = 33/3 = 11

Очевидно, что факторизация была произведена успешно. Проверяем: (Рис. 9).

Рис. 9 - Факторизация модуля

Следовательно, значение модуля успешно факторизовано, значит, криптосистема может быть взломана.

Таким образом, был исследован принцип работы квантового алгоритма Шора, рассмотрены отдельные этапы его выполнения и сделаны соответствующие выводы.

Вывод:

Благодаря данной лабораторной работе, было произведено ознакомление с квантовым алгоритмом факторизации Шора и основами квантовых вычислений, наблюдение принципа работы квантового алгоритма в симуляции, изучение способа факторизации модуля методом поиска периода для взлома криптосистем РШ

Санкт-Петербург

2024