1

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Криптографические протоколы

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

(тема отчета)

Направление/специальность подготовки

10.03.01 Информационная безопасность

(код и наименование направления/специальности)

Выполнил студент 3 курса:

Травкина Е.А., ИКБ-14

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Преподаватель:

д.т.н., проф. Яковлев В.А.

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Лабораторная работа 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Цель работы

Закрепить знания, полученные на лекциях дисциплин «Криптографические методы защиты информации», «Криптонрафические протоколы» и приобрести навыки вычислений по блоку занятий «Математический базис криптосистем с открытым ключем».

Порядок

Установкить пакета программ “Maxima”

1.Перейти к пакету “Maxima”(M), выбрав в нем функцию integerp.

.Задавшись не менее, чем тремя произвольными пятиразрядными числами n и d проверить, являются ли числа d делителями n, используя следующие команды:

integerp(n/d)

2. Используя функцию divisors(n) в пакете (М) найти делители не менее чем трех пятиразрядных чисел при помощи следующей команды:

divisors(n)

Убедиться в правильности расчетов “вручную”.

3.Используя функцию gcd(a,b) пакета (М) найти gcd одной пары четырех разрядных чисел и не менее чем четырех пар пятизначных чисел, одна из которых соответствует взаимно простым числам, при помощи следующей команды:

gcd(a,b)

Убедиться в правильности расчетов “вручную” (на бумаге), выполнив следующее задание

Вариант №19 → НОД(4848,1220)

4848 = 1220*3+1188

1220 = 1188*1+32

1188 = 32*37+4

32=4*8

НОД(4848,1220) = 4

4. Для найденных в п.3 пяти gcd(a,b), найти их канонические представления при помощи расширенного алгоритма Евклида при помощи следующей команды:

gcdex(a,b)

Проверим правильность канонических представлений для всех случаев. Если функция отображает верный результат, то должно соблюдаться равенство (z1*a+z2*b)mod(b)= c, где z1, z2 - коэффициент перед большим числом a и коэффициент перед меньшим числом b соответственно, c равно НОД(a, b).

z1	z2	(z1*a+z2*b)mod(b)	c	Равенство
3511	-1430	(3511*3251 - 1430*7982) mod 7982=1	1	соблюдается
973	-453	(33894*973 – 72801*453) mod 72801=9	9	соблюдается
10928	-9421	(38720*10928-44923*9421) mod 44923=1	1	соблюдается
-3858	3683	(-78290*3858+82010*3683) mod 82010=10	10	соблюдается
-19593	10750	(-38293*19593+69793*10750) mod 69793=11	1	соблюдается

5.Для одного четырехразрядного числа и не менее чем для четырех произвольно выбранных пятизначных чисел a сделать их приведение по модулям произвольных меньших чисел m при помощи команды:

mod(a,m)

Убедиться в правильности расчетов для первого числа “вручную”.

2222 mod 2000 = (2000*1+222) mod 2000 = 222 mod 2000 = 222

6. .Найти мультипликативно обратные элементы к одному двухразрядному числу и не менее чем к четырем 9-ти значным числам a по простым двузначным модулям m при помощи следующей команды:

power_mod(a,-1,m)

Убедиться в правильности расчетов “вручную”, выполнив следующее задание:

Вариант №19 → a=103, b=157

103^-1 mod 157?

157=103*1+54 → 54 = 157-103

103 = 54*1+49 → 49 = 103-54

54 = 49*1+5→ 5 = 54-49

49 = 5*9+4 → 4 = 49-5*9

5 = 4*1+1 → 1 = 5-4

1 = 5-4=(54-49)-(49-5*9)=(157-103-103+157-103)-(103-(157-103)-9*(157-103-103+157-103)) = -32*103 +21*157

103^-1 mod 157 = 125

7.Рассчитать функцию Эйлера для одного двухразрядного числа не менее чем четырех четырехзначных чисел m, используя команду:

totient(m)

Убедиться в правильности расчетов для первого числа “вручную”.

φ(41) = 41-1 = 40

8.Для двух пар произвольных четырехзначных, но взаимно простых чисел a и m, проверить справедливость теоремы Эйлера при помощи следующей команды:

mod(a^ totient(m),m)

9.Произвести возведение 5-значного произвольного числаaв степень произвольного 15-значного числа bпо произвольному 4-х значному модулю m, используя команду:

power_mod(a,b,m)

Используя алгоритм быстрого возведения в степень, вычислить вручную:

Вариант №9 → 5¹¹⁹ mod 7

119 = 2⁶+2⁵+2⁴+2² +2¹+2⁰=64+32+16+4+2+1

5¹¹⁹mod 7 = 5^64+32+16+2+1 mod 7 = 5⁶⁴∙5³²∙5¹⁶∙5⁴ ∙5²∙5¹mod 7

5¹ mod 7 = 5

5² mod 7 = 4

5⁴ mod 7 = 5² ∙ 5² mod 7 =4 ∙ 4 mod 7 =2

5⁸ mod7 = 5⁴ ∙ 5⁴mod7 = 2 ∙ 2 mod 7 = 4

5¹⁶ mod7 = 5⁸ ∙ 5⁸mod7 = 4 ∙ 4 mod 7 = 2

5³² mod7 = 5⁸ ∙ 5⁸ ∙ 5⁸ ∙ 5⁸ mod7 = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 mod 7 = 4

5⁶⁴ mod7 = 5³² ∙ 5³² mod7 = 4 ∙ 4 mod 7 = 2

5¹¹⁹mod7 = 5⁶⁴ ∙ 5³² ∙ 5¹⁶ ∙ 5⁴ ∙5²∙5¹ mod 7 = 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 2*4 ∙ 5 mod 7 = 3

5¹¹⁹ mod 7 = 3

10. Решить систему уравнений на основе использования китайской теоремы об остатках.

,

№ Варианта		ai	mi
19		3,9,6	11,5,13
Найдем x0	по формуле x0 = (M1y1a1 + M2y2a2 + M3y3a3) mod M

M = 11*5*13 = 715

M₁ = M/m₁ = 715/11 = 65

M₂ = M/m₂ = 715/5 = 143

M₃ = M/m₃ = 715/13 = 55

M₁y₁ = 1 mod m₁ → 65y₁ = 1 mod 11 → 10y₁ = 1 mod 11 → y₁=10^-1 mod 11 = 10

M₂y₂ = 1 mod m₂ → 143y₂ = 1 mod 5 → 3y₂ = 1 mod 5 → y₂=3^-1 mod 5 = 2

M₃y₃ = 1 mod m₃ → 55y₃ = 1 mod 13 → 3y₃ = 1 mod 13 → y₃=3^-1 mod 13 = 9

x0 =(3*65*10+9*2*143+6*55*9) mod 715 = 344

Ответ: x = 344

11. Разложите в цепную дробь числа: P/Q. Найдите подходящие дроби для k=1,2,3,4

-799 = 1368*(-1)+569

1368= 569*2+230

569 = 230*2+109

230 = 109*2+12

109=12*9+1

12=1*12

Найдите подходящие дроби для k=1,2,3,4

A[-1;2,2,2,9,12]

K	0	1	2	3	4	5
qk	q=-1	q=2	q=2	q=2	q=9	q=12
Pk	-1	-1	-3	-7	-66	-799
Qk	1	2	5	12	113	1368

A₀=-1, A₁= , A₂ = , A₃ = , A₄ = , A₅ =

12. Решить контрольный пример.

K=37, b= 29^-1 mod 37, a=29

29^-1 mod 37?

37 = 29*1+8 → 8 = 37-29

29 = 8*3+5 → 5 = 29-8*3

8 = 5*1+3 → 3 = 8-5

5 = 3*1+2 → 2 = 5-3

3 = 2*1+1 → 1 = 3-2

1 = 3-2 = (37-29-(29-(37-29)*3))-((29-(37-29)*3)-( (29-(37-29)*3)- (37-29 -(29-(37-29)*3) )) = -14*29+11*37

29^-1 mod 37 = 23

6^-1 mod 37 = 31 → 31¹¹ mod 37

11 =8+2+1= 2³+2¹+2⁰

31¹¹ mod 37 = 31⁸*31²*31¹ mod 37

31 mod 37 =31 31² mod 37 =31*31 mod 37 = 36

31⁸ mod 37 = 31²*31²*31²*31² mod 37 = 36*36*36*36 mod 37 = 1

31¹¹ mod 37 = 1*36*31 mod 37 = 6

Вывод

В ходе лабораторной работы мы закрепили знания, полученные на лекциях дисциплин «Основы криптографии», «Криптографические методы защиты информации» и приобрели навыки вычислений по блоку занятий «Математический базис криптосистем с открытым ключом».

Санкт-Петербург

2024