Добавил:

And3 ... Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Інд. завдання №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.06.2024

Размер:

223.53 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ МОРСЬКИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені адмірала Макарова

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ

З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ-ЗАОЧНИКІВ

СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ТЕХНІЧНОГО ПРОФІЛЮ

МИКОЛАЇВ 2000

УДК 517:681.3

Юрченко Т.А., Іванова О.Г. Методичні вказівки та контрольні роботи з вищої математики для студентів-заочників спеціальностей технічного профілю. – Миколаїв: УДМТУ, 2000. – 110 с.

Кафедра вищої математики

Методичні вказівки складаються з восьми контрольних робіт, завдання яких охоплюють основні розділи курсу вищої математики в технічному вузі. До кожної контрольної роботи подані теоретичні питання, які треба засвоїти для виконання завдань роботи, а також наводяться зразки виконання завдань.

Іл. 33, спис.літ. – 12 назв.

Рецензент к.ф.-м.н., доц. А.М.Кузнецов

1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ

1.1.Теоретичні питання

1.Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості.

2.Основна таблиця інтегралів.

3.Безпосереднє інтегрування. Приклади.

4.Інтегрування частинами. Приклади.

5.Заміна змінної у невизначеному інтегралі.

6.Інтегрування раціональних дробів.

7.Інтегрування тригонометричних функцій.

8.Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій.

9.Поняття визначеного інтеграла.

10.Задача про площу криволінійної трапеції. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

11.Властивості визначеного інтеграла.

12.Формула Ньютона – Лейбніца.

13.Заміна змінної у визначеному інтегралі.

14.Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

15.Схеми застосування визначеного інтеграла.

16.Обчислення площ плоских фігур в декартових координатах.

17.Обчислення площ плоских фігур в полярних координатах.

18.Обчислення довжини дуги плоскої кривої.

19.Обчислення об’єму тіла.

20.Обчислення площі поверхні обертання.

21.Приклади розв’язування задач фізики та механіки за допомогою визначеного інтеграла.

22.Невласні інтеграли по нескінченному проміжку та від необмежених функцій.

1.2. Рекомендована література: [11, кн.2,с.112–215]; [1, кн.1,с.161–194]; [9].

1.3. Контрольна робота №1 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли.

Номер

Інтеграли

варіанта

а)

sin xdx

, б)

ln2 x

в) xe

dx,

3 2cosx

5 dx

xdx

г)

д)

е) cos4 xdx.

x 2

	Номер	Інтеграли
	варіанта	Інтеграли
	варіанта

а)

x2dx

б)

x2dx

в) xcos3xdx,

1 x6

1 x3

2x 1 dx

xdx

г)

д) cos2x cos3xdx, е)

x 3 x2 1

а)

xdx

б)

xdx

в) sin3 xdx,

4 x

3x 2 dx

cos3 x

г)

д)

xdx

x 1 x2 4 ,

е)

dx.

sin2 x

а)

x2dx

б)

x2dx

в) x5 lnxdx,

4 x

xdx

г)

д) sin2x cos3xdx,

е)

x 1

1 x 2

а) x2ex3dx,

б)

, в)

xe2xdx,

x2 2 dx

г)

д) tg

xdx, е)

x2 4 x 1

2x 1

а)

б)

e dx

в) x32xdx,

г)

5x 1

dx, д)

, е)

1 x 3

x 2

2 3sin x

dx,

а)

2 lnx

б) esin x cosxdx,

в)

lnxdx,

г)

д)

е) cos2xsin4xdx.

dx,

а)

3arctgxdx

б)

xdx

в) xcos6xdx,

4 1 x2

1 x

4x 1 dx

г)

, д)

е)

4x 5

1 2 3x

Номер			Інтеграли
варіанта			Інтеграли
варіанта

а)

arcsin

dx,

б)

cosxdx

в) xln 1 x dx,

1 x2

2 sin x

x 2 dx

xdx

г)

д) sin

xcos

xdx,

е)

x 1 x 4

1 x

а)

x4dx

б)

xdx

в)

arcsin x

dx,

x4 2

3 2 x5

1 x

2x2 1dx

г)

д) sin

xcos

xdx, е)

9 x 2

1 4x

а)

cosxdx

б)

earcsin x

dx, в) xsin5xdx,

1 x2

4 sin x

x 2

г)

dx, д)

е)

4x 13

1 tgx

x 1

а)

, б)

x3dx

в) xcos3xdx,

cos

x 2 tgx

4 x8

г)

д) ctg4xdx,

е)

x 1 x 1

а)

x arctg

dx,

б) ecosx sinxdx,

в) arcsin2xdx,

1 x

3x 2 dx

cos4 xdx,

2x 3

dx.

г)

д)

е)

x2 9 x 2

4 x 1

а)

2x 5

dx,

б) x35x4dx,

в) arctg3xdx,

4 x2

3x 2 dx

sin4 xdx

г)

, д)

, е)

cos

x 2 x 1

x 1

а) x22x3dx,

б) 5

dx, в) x23xdx,

3x 1

г)

dx, д)

е)

6x 13

1 tgx

2x 1

	Номер	Інтеграли
	варіанта	Інтеграли
	варіанта

а)

б) x23

1 x3

dx,

в) xcos4xdx,

1 e 2x

г)

dx, д)

е)

x 2

x 1

5 3cosx

dx,

а)

б)

dx,

в) xsin

dx,

г)

, д)

, е)

5 4sin x

а)

б)

x4dx

в) x7 lnxdx,

x 3 ln2 x

4 x5 3

г)

д)

е)

xdx

1 2sin x

x 1

а) xcos x2 dx,

б) 3x 5 10dx,

в) arccos2xdx,

г)

x2 4

sin3 x

е)

x 1 x2 4

dx, д)

dx,

cos4 x

3 3

x 1

dx,

а)

arctgx

б)

в) arctg4xdx,

1 x

x 4 lnx

x2 x 1

г)

dx, д)

е)

1 sin

x 1

x 2

3x 1

а)

б)

x2dx

в) x2 ln 1 x dx,

4 lnx

2 x

г)

, д)

cos4 x

dx, е)

dx.

sin

x 1 x 2

x 1

cos

в) xcos

dx,

а)

dx,

б) x35

1 x4

dx,

г)

xdx

, д) sin3x sin5xdx,

е)

x 1 2x 1

x 1

а)

, б) x26 2 x3dx, в) xe xdx,

ex 3 e x

г)

д) tg5xdx,

е)

x 1

	Номер	Інтеграли
	варіанта	Інтеграли
	варіанта
		arctgx

а)

x 2

dx, б)

dx,

в) xsin

dx,

1 x2

1 x

x 1 dx

г)

д) ctg3xdx,

е)

3 2

x x

x 3

а)

1 e

dx, в) x 2

dx,

dx, б) x

г)

д)

, е)

3 sin3x

x 2

Завдання 2. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями.

Номер

Рівняння ліній

Номер

Рівняння ліній

варіанта

y 4 x2,

y x2 2x

y x2 3x 2,

y 2x

y x2 3x,

y 2x 6

y 9 x2,

y x2 3x

y x2 5x,

y 2x 4

x 8 y2,

x y2

y2 2x 2,

y2 6 2x

y x 1 2,

y2 x 1

x 4 y2,

x y2 2y

y x2 4x,

x y 4 0

y x2 5x,

y 3x 3

x2 2y 3,

x2 y 4

y x2 2x,

y 4 x2

y 2x,

y x2 3x 2

y 2x 6, 19 y x2 3x

y 2x 4,

y x2 5x

y2 x,

y2 8 x

y2 4 x,

x y2 2y

Номер	Рівняння ліній	Номер	Рівняння ліній
варіанта	Рівняння ліній	варіанта	Рівняння ліній
варіанта		варіанта
10	y x2 4x 3,	23	y x 2,
10	y 3x 1	23	x 2y2 6y
	y 3x 1		x 2y2 6y
11	x 2y2 6y,	24	y2 4 x,
11	x y 2 0	24	3y2 x
	x y 2 0		3y2 x
12	x 4 y2,	25	y 4 x,
12	x 3y2	25	y x2 4x
	x 3y2		y x2 4x
13	y x2 3x,
13	y 4x 6
	y 4x 6

Завдання 3

Номер		Задача
варіанта		Задача
варіанта

1Знайти площу фігури, обмеженої лінією 1 cos .

2Знайти довжину кардіоіди 41 sin .

Знайти об’єм тіла, одержаного при обертанні фігури, обмеженої

3лініями y x2, y x, навколо осі 0x.

4Обчислити площу фігури, обмеженої лінією 3cos2 .

5Обчислити довжину дуги кривої x 3cos3 t, y 3sin3 t.

Знайти об’єм тіла, утвореного при обертанні фігури, обмеженої

6лініями y 2x2 , y x2 1, навколо осі 0x.

Знайти об’єм тіла, утвореного при обертанні фігури, обмеженої

7	лініями y x2, y 2 x2, навколо осі 0x.


8	Знайти площу фігури, обмеженої лінією 2cos3 .
9	Обчислити довжину дуги кривої 2 1 cos .
10	Обчислити	об’єм	тіла,	одержаного		при	обертанні	фігури,
10	обмеженої лініями y sin x, y 0 (0 x ), навколо осі 0x.
	обмеженої лініями y sin x, y 0 (0 x ), навколо осі 0x.

11	Обчислити площу фігури, обмеженої лінією 3 cos .
12	Обчислити довжину дуги кривої y
12	Обчислити довжину дуги кривої y				x3	, якщо 0 x 4.
	Обчислити	об’єм	тіла,	одержаного		при	обертанні	фігури,

13обмеженої лініями y ex , y 0, x 0, x ln2 навколо осі 0x.

14Обчислити площу фігури, обмеженої лінією 2 cos .

Номер

Задача

варіанта

15 Обчислити довжину дуги кривої y lncosx, якщо 0 x . 4

Знайти об’єм тіла, одержаного при обертанні фігури, обмеженої

лініями y cosx, x 0, y 0 (x 0), навколо осі 0x.

17Обчислити площу фігури, обмеженої лінією 2sin2 .

18Обчислити довжину дуги кривої 1 cos .

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої

19	лініями y	4	, x 1, x 4, y 0, навколо осі 0x.
	лініями y	x	, x 1, x 4, y 0, навколо осі 0x.
		x
20	Обчислити площу фігури, обмеженої лінією						.
20	Обчислити площу фігури, обмеженої лінією				2cos2		.
21	Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої
21	лініями y 4x x2 , y x, навколо осі 0x.
22	Обчислити площу фігури,			обмеженої кривими	2cos , 1
22	(поза колом 1).
	(поза колом 1).

23	Обчислити довжину дуги кривої y2 x 1 3 між точками A(2; 1) і
23	B(5; 8).
	B(5; 8).
24	Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої
24	лініями y x2 1, x 3, y 0, x 0, навколо осі 0x.
25	Обчислити	довжину дуги		кривої x a t sint ,		y a 1 cost
25	0 t 2 .
	0 t 2 .

1.4. Розв’язування типових задач

Задача 1. Знайти інтеграли:

а) x2 sin x3 dx; б) xsin4xdx; в) 3lnx x dx;

г) x6 lnxdx;

д)

x2dx

;

е) sin5 xdx;

1 x

є)

; ж)

3 5cosx

3 2x 1 2

2x 1

Розв’язування

а) x2 sin x3 dx I .

Способом підведення функції під знак диференціала зводимо даний інтеграл до табличного:

I 1 sin x3 d x3 1cos x3 C. 3 3

б) xsin4xdx.

Використаємо метод інтегрування частинами:

udv uv vdu.

Введемо позначення

u = x; du = dx; dv sin4xdx; v sin4xdx

sin4xd 4x

cos4x.

Тоді

xsin4xdx

xcos4x

cos4xdx

xcos4x

sin4x C.

lnx

lnx 3 3

в)

dx lnx

d lnx

3 ln4 x C.

г) x6 lnxdx.

Інтегруємо частинами:

u lnx

x6 lnxdx

lnx

dv x6dx v x6dx

x7 lnx

lnx

x2dx

д)

1 x 1 x 1 x2 I.

1 x4

Розкладемо підінтегральний дріб на суму найпростіших:

	x2		A	B	Cx D
1 x 1 x 1 x2
1 x 1 x 1 x2			1 x	1 x	1 x2
	A1 x 1 x2	B 1 x 1 x2 Cx D 1 x2
						.
		1 x 1 x 1 x2				.
		1 x 1 x 1 x2

Порівнюючи чисельники, маємо

x2 Ax3 Ax2 Ax A Bx3 Bx2 Bx B Cx D Cx3 Dx2.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, одержуємо систему рівнянь:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Виш. мат.

#
25.06.2024181.92 Кб0Інд. завдання №1,5.pdf
#
25.06.2024223.53 Кб0Інд. завдання №1.pdf
#
25.06.2024182.03 Кб0Інд. завдання №2.pdf
#
25.06.2024238.21 Кб0Інд. завдання №3.pdf