Расчет электрических цепей в Smath Studio (учебное пособие)

Рисунок 2.7 – Расчет потенциалов и формирование векторов

Рисунок 2.8 – Построение потенциальной диаграммы

51

2.2 Электрические цепи синусоидального тока

При расчете электрических цепей синусоидального тока используется символический метод, в основе которого лежит алгебра комплексных чисел.

Подробно работа с комплексными числами описана в пункте 1.7.

Рассмотрим пример расчета линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока в SMath Studio.

Рисунок 2.9 – Исходные данные и расчет параметров

Рисунок схемы с указанными направлениями создается в другой программе, затем делаем вставку рисунка на рабочем листе, рисунок 2.9. При вводе исходных данных для удобства записи выражений вводим обозначение мнимой единицы j. Также задать комплексное число можно щелчком мыши на кнопку с буквой i на панели инструментов Арифметика. SMath Studio

задает комплексное число в алгебраической форме, в виде a+bi, где a и b

обычные числа.

52

Рисунок 2.10 – Запись системы уравнений по законам Кирхгофа

К сожалению, при записи выражений невозможно отметить комплексные величины точками сверху или подчеркиванием снизу переменной. При записи общего вида используем знак равно с панели

Булева, единицы измерения записываем как текст вне области переменной.

Рисунок 2.11 – Решение системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами в SMath Studio

53

Решение системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами, рисунок 2.10, осуществляется с использованием матриц. В

результате получаем матрицу-столбец с искомыми токами, записанными в алгебраической форме. SMath Studio добавляет множитель i к мнимой части комплексного числа. Для представления комплексного значения тока в экспоненциальной (показательной) форме использовалась встроенная функция для определения аргумента arg(z), рисунок 2.12. Если не дополнить результат знаком градусов, то угол будет представлен в радианах. Чтобы перевести угол в градусы, после появления результата: установите маркер мыши на черный значок; нажмите на клавиатуре апостроф <’>; из появившегося списка единиц измерения выберите знак градусов и нажмите клавишу <Tab> или <Enter>.

Рисунок 2.12 – Запись комплексных токов в показательной форме

При вычислении баланса мощности используется комплексно-

сопряженное значение тока. Отдельной функции для вычисления комплексно-сопряженных величин в SMath Studio не предусмотрено, поэтому расчет проводим способом, показанным на рисунке 2.13.

54

Рисунок 2.13 – Расчет баланса мощностей

Как правило, все расчеты электрических цепей синусоидального тока заканчиваются построением векторной диаграммы токов, топографической диаграммой напряжений и временными зависимостями токов или напряжений на элементах цепи. На рисунке 2.14 представлено построение векторной диаграммы токов. Задаются два вектора: один содержит только действительные части от комплексных значений токов, второй – только мнимые части.

Два вектора объединяются с помощью функции augment в одну матрицу, это действие необходимо для построения двумерного графика в

SMath Studio. Для создания векторной диаграммы определите место на листе для графика и щелкните мышью на нем; выберите в меню < Вставка>

<График> <Двумерный (2D)>; заполните метку-заполнитель слева внизу функцией f(x), в нашем случае «Токи»; нажмите [Enter].

55

Рисунок 2.14 – Построение векторной диаграммы токов

На рисунке 2.15 показан расчет потенциалов для построения топографической диаграммы.

Построение топографической диаграммы осуществляется подобно построению векторной диаграммы токов, рисунок 2.16.

Для того, чтобы по построенным диаграммам можно было проверить выполнение уравнений, составленных по законам Кирхгофа, необходимо выдерживать масштаб по осям действительных и мнимых чисел одинаковым,

то есть количество Вольт (Ампер) в одном сантиметре оси действительных чисел должно быть равно такому же количеству Вольт (Ампер) в одном сантиметре оси мнимых чисел.

56

Рисунок 2.15 – Расчет комплексных потенциалов

Рисунок 2.16 – Построение векторной диаграммы токов

57

При совмещении векторной диаграммы токов и топографической диаграммы напряжений необходимо учесть разницу в масштабах, рисунок

2.17. Масштаб тока, как правило, увеличивают. Коэффициент увеличения, в

нашем случае 10, изменяют на одинаковое значение по осям действительных и мнимых чисел. Значение коэффициента увеличения выбирают произвольно.

На рисунке 2.17 показан также пример построения временных диаграмм токов и напряжения, заданных аналитически. При построении графика функции в качестве ее аргумента следует указывать только x!

Рисунок 2.17 – Временные диаграммы и векторная диаграмма токов,

совмещенная с топографической диаграммой напряжений

В примерах показаны два разных способа изображения нескольких функций на одном графике. Функции объединены в систему: в первом случае

58

это сделано в поле графика, во втором случае система записана отдельно перед графиком. Размерность системы удобнее увеличивать не «растягиванием» ее границы, как это предлагается в большинстве руководств, а нажав на клавиатуре знак разделителя (по умолчанию в программе это знак точки с запятой «;»).

К основному недостатку базовой версии SMath Studio при построении графиков в сравнении с Mathcad относится невозможность задать пределы изменения аргумента перед построением графика. Независимо от пределов, в

которых строится график, пределы осей на полотне графика вставятся всегда одинаковые (от -12 до +12 по оси «x» и от –8 до +8 по оси «y»). Если график меньше или больше этих пределов, полотно графика можно масштабировать только вручную колесиком мыши и клавишами <Shift> и <Ctrl> (эта опция в

SMath Studio предусмотрена). Кроме того, в SMath Studio не предусмотрена функция форматирования самих графиков: нельзя поменять их цвет и толщину,

вставить какие-то метки и т.п.

2.3 Электрические цепи с несинусоидальными токами

При анализе установившихся режимов в электрических цепях несинусоидального тока используется более сложный математический аппарат.

Расчет таких цепей основан на принципе наложения и включает в себя:

разложение периодической несинусоидальной функции в ряд Фурье; расчет цепи для каждой гармоники ряда; запись результирующих величин токов и напряжений в виде суммы мгновенных значений (в виде ряда Фурье).

В SMath Studio для расчета коэффициентов ряда Фурье функцию можно задать только двумя способами:

–аналитическим выражением;

–векторами с последующей интерполяцией.

59

К сожалению, при задании криволинейных функций в SMath Studio с

помощью логической функции if, функция не воспринимается в дальнейших операциях расчета коэффициентов ряда Фурье.

Первый способ целесообразно использовать, если несинусоидальную функцию достаточно просто описать аналитическими выражениями на определенных отрезках. Задание функции векторами наиболее удобно использовать для формализации графиков, заданных отрезками прямых. При необходимости моделирования скачка такой функции можно изменить значение одной или нескольких координат на такую малую величину, что это не отразится на дальнейших вычислениях.

Расчет коэффициентов ряда Фурье проводится по общеизвестным в высшей математике формулам. Для этих целей в SMath Studio есть функция вычисления определенного интеграла. Следует отметить, что в SMath Studio

можно вычислять только определенные интегралы. Расчет можно проводить отдельно для каждой гармоники, а можно оформить в виде циклического процесса, используя оператор for и элемент line с панели Программирование.

Рисунок 2.18 - Интерполяция функции, заданной отрезками прямых

60