Вопросы к экзамену по ТВиМС 2024

Вопросы к экзамену по теории вероятностей и математической статистике

осень 2023 г.

1.Случайные явления. Статистическое определение вероятности случайного события, устойчивость частот.

2.Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания. Комбинаторный принцип умножения.

3.Вероятностное пространство {Ω, , } (вероятностная модель). Множество элементарных событий Ω, множество случайных событий , вероятность .

4.Диаграммы Венна. Операции и отношения между событиями. Достоверное, невозможное, противоположное случайные события. Несовместные случайные события. Полная группа событий.

5.Аксиоматическое определение вероятности случайного события.

6.Вероятность суммы случайных событий (формула сложения вероятностей или теорема сложения вероятностей).

7.Конечное вероятностное пространство.

8.Классическая вероятностная схема.

9.Счётное вероятностное пространство.

10.Геометрические вероятности. Задача Бюффона.

11.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость случайных событий. Общая формула умножения вероятностей. Независимость в совокупности (взаимно (попарно) независимые случайные события).

12.Формула полной вероятности. Примеры.

13.Формула Бейеса. Примеры.

14.Случайная величина, вещественная и комплексная.

15.Функция распределения случайной величины и её свойства.

16.Случайная величина дискретного типа, её закон распределения. Начальные и центральные моменты дискретной случайной величины. Мода случайной величины дискретного типа. Производящая функция целочисленной случайной величины.

17.Случайная величина непрерывного типа. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (плотность распределения непрерывной случайной величины), свойства этой функции. Начальные и центральные моменты непрерывной случайной величины. Мода и медиана.

18.Схема последовательности независимых испытаний Бернулли. Биномиальное распределение ( , ), его математическое ожидание и дисперсия.

19.Распределение Пуассона, его математическое ожидание и дисперсия.

20.Поток событий. Стационарный пуассоновский поток.

21.Геометрическое распределение, его математическое ожидание и дисперси.

-1 -

22.Случайная величина, равномерно распределённая на отрезке (закон распределения (, )). Функция плотности распределения, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение и медиана равномерно распределённой случайной величины.

23.Гауссово (нормальное) распределение (закон распределения (, )). Функция плотности распределения, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода и медиана нормально распределённой случайной величины. Стандартное нормальное распределение (0, 1), функция Гаусса. Функция Лапласа, нормированная функция Лапласа, функция ошибок erf( ). Формулы для центральных моментов нормального распределения.

24.Случайные векторы. Двумерный случайный вектор. Функция распределения двумерного случайного вектора и её свойства.

25.Двумерный случайный вектор дискретного типа. Закон распределения двумерной случайной величины. Маргинальные (одномерные) законы исходного двумерного распределения. Условные законы распределения отдельных компонент случайного вектора. Условное математическое ожидание отдельной компоненты дискретного случайного вектора.

26.Двумерный случайный вектор непрерывного типа. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины и её свойства. Условная плотность распределения отдельной компоненты случайного вектора. Условное математическое ожидание отдельной компоненты непрерывного случайного вектора.

27.Равномерное распределение двумерного случайного вектора в области. Нормально распределённый двумерный вектор, параметры этого распределения.

28.Начальные и центральные моменты порядка + для дискретного и непрерывного случайных векторов.

29.Понятия (статистической) зависимости и независимости случайных величин. Теорема о необходимом и достаточном условии независимости двух случайных величин. Взаимная независимость (независимость в совокупности) для системы случайных величин.

30.Ковариация двух случайных величин cov (, ) (корреляционный момент) и её свойства. Коррелированные и некоррелированные случайные величины. Соотношение между независимыми и некоррелированными случайными величинами. Коэффициент корреляции. Матрицы ковариации и корреляции для многомерного случайного вектора.

31.Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожи-

дание и дисперсия суммы случайных величин и от случайной величины вида ∑ =1 + , где , — детерминированные величины, а — случайные. Математическое ожидание произведения случайных величин, дисперсия произведения независимых случайных величин.

-2 -

32.Математическое ожидание и дисперсия комплексной случайной величины.

33.Неравенство Чебышёва. Сходимость по вероятности. Теорема Чебышёва для случая одинаково распределённых слагаемых (попарно независимых).

34.Теорема Бернулли.

35.Центральная предельная теорема для случая одинаково распределённых слагаемых.

36.Теоремы Муавра — Лапласа, интегральная и локальная.

37.Распределения χ-квадрат (хи-квадрат) и Стьюдента.

38.Понятия генеральной совокупности и выборки. Вариационный ряд, широта (размах) выборки, медиана, нижняя и верхняя квартили. Статистический ряд и полигон частот. Выборочная (эмпирическая) функция распределения, кумулята. Выборочные числовые характеристики. Группированный статистический ряд и гистограмма.

39.Понятия точечной статистической оценки. Требования к оценкам. Понятие смещённой и несмещённой оценки. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

40.Метод максимального правдоподобия.

41.Метод наименьших квадратов.

42.Построение доверительных интервалов для оценок параметров распределений.

43.Задача проверки статистических гипотез. Ошибки 1 и 2 рода. Критерии согласия Пирсона (χ-квадрат).

44.Критерий проверки гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий двух нормальных случайных величин.

- 3 -