МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра многоканальных телекоммуникационных систем

Лабораторная работа № 8

по дисциплине

Цифровые системы передачи и методы их защиты

Реализация алгоритма Евклида

Номер студ. билета № 1БИН20037

Выполнил:

студент гр. БЗС2002

Ломакин А. А.

(Ф.И.О.)

Проверила:

Мусатова О. Ю.

(должность, Ф.И.О.)

Москва 2023

1. Постановка задачи

1) Изучить блок-схему расширенного алгоритма Евклида, используя часть 2 учебного пособия профессора С.С. Шаврина «Защита информации в многоканальных телекоммуникационных системах» на стр. 13.

2) Реализовать по блок-схеме функцию нахождения обратных значений в простых полях Галуа по расширенному алгоритму Евклида средствами сигнального процессора ADSP-2181.

2. Исходные данные для индивидуального задания

Исходные данные, соответствующие номеру студенческого билета, представлены в таблице 1.

Таблица 1 — Исходные данные для алгоритма Евклида

Последние две цифры номера студ. билета АВ	Формула для расчета	Расчетное значение
A = 3 B = 7		15
		47

3. Краткая теория

Алгоритм Евклида используется в криптосистемах для 1) решения задач, связанных с факторизацией;

2) идентификации взаимно простых чисел.

Алгоритм Евклида решает задачу вычисления для двух целых чисел a и n наибольшего общего делителя d = НОД(a, n). Алгоритм Евклида решает задачу вычисления двух целых чисел x и y, удовлетворяющих решению уравнения .

4. Блок-схема алгоритма

Блок-схема расширенного алгоритма Евклида представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 — Блок-схема расширенного алгоритма Евклида

5. Исходный текст подпрограммы

Исходный текст подпрограммы, реализующей расширенный алгоритм Евклида, представлен на рисунке 2.

.section/dm vars; .var x1 = 1; .var x2 = 0; .var y1 = 0; .var y2 = 1; .var a = 15; .var n = 47; .var q, r, NOD, z; .section/pm program; ena m_mode; ar = dm(n); // Запись числа n в AR dm(z) = ar; // Дублирование числа n в переменной 'z' find: nop; // Цикл поиска НОД'а // Блок 1 mx0 = 1; my0 = dm(n); mr = mx0 * my0(uu); // Запись делимого N в MR ax0 = dm(a); // Запись делителя A в AX0 call delen; // Вызов функции деления dm(q) = ay0; // Запись частного в 'q' 5041 dm(r) = mr0; // Запись остатка в 'r' // Блок 2 mr = 0; // Сброс MR mr0 = dm(y2); // Запись Y2 в MR0 mx0 = dm(q); // Запись Q в MX0 my0 = dm(y1); // Запись Y1 в MY0 mr = mr - mx0 * my0(uu); // y = y2 - q * y1 ar = dm(y1); // Сохранение Y1 dm(y2) = ar; // Y2 = Y1 dm(y1) = mr0; // Y1 = Y // Блок 3 mr = 0; // Сброс MR mr0 = dm(x2); // Запись Y2 в MR0 mx0 = dm(q); // Запись Q в MX0 my0 = dm(x1); // Запись Y1 в MY0 mr = mr - mx0 * my0(uu); // y = y2 - q * y1 ar = dm(x1); // Сохранение Y1 dm(x2) = ar; // Y2 = Y1 dm(x1) = mr0; // Y1 = Y // Блок 4 ax0 = dm(a); // AX0 = a dm(n) = ax0; // n = AX0 ax0 = dm(r); // AX0 = r dm(a) = ax0; // a = AX0 ar = pass ax0; if gt jump find; ay0 = dm(n); dm(NOD) = ay0; ar = ay0 - 1; if ne jump find_NO; mx0 = 1; my1 = dm(x2); mr = mx0 * my1(uu); ax0 = dm(z); call delen; find_NO: astat=4; end: jump end; delen: mr1 = 0; AF = pass MR1; AY0 = MR0; ASTAT = 0; AR = pass ax0; if NE jump del; ASTAT = 4; rts; del: AR = pass AX0; if GT jump large; if LT jump smol; large: divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; divq AX0; MR2 = 0; MY0 = AX0; AR = pass AY0; MR = MR - AR*MY0 (uu); rts; smol: SR1 = AX0; SR = lshift SR1 by -1(HI); divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; divq SR1; AR = pass AY0; if EQ jump zero; AF = tstbit 0 of AX0; if NE AR = AR - 1; zero: MR2 = 0; MY0 = AX0; MR = MR - AR*MY0 (uu); rts;

Рисунок 2 — Исходный текст подпрограммы нахождения обратных чисел по алгоритму Евклида

6. Результаты предварительного расчета и отладки подпрограммы нахождения обратных чисел по алгоритму Евклида

Результаты предварительного расчета для отладки подпрограммы нахождения по алгоритму Евклида значения числа , обратного числу по модулю , приведены в таблице 2, где

уравнение в целых числах

- частное

- остаток деления

- наибольший общий делитель

Таблица 2 - Предварительный расчет для отладки подпрограммы

q	n	a	r	x2	x1	x	y2	y1	y
3	47	15	2	0	1	-3	1	0	1
7	15	2	1	1	-3	22	0	1	-7
2	2	1	0	-3	22	-47	1	-7	15
	1	0		22	-47		-7	15

x = n(22)mod47 - обратное числу по модулю . Проверка взаимообратности чисел и : .

15*22 + 47*(-7) = 1 - решение уравнения в целых числах.

Результаты отладки подпрограммы представлены в таблице 3.

Таблица 3 — Результаты отладки подпрограммы

q	n	a	r	x2	x1	x	y2	y1	y
3	47	15	2	0	1	-3	1	0	1
7	15	2	1	1	-3	22	0	1	-7
2	2	1	0	-3	22	-47	1	-7	15
	1	0		22	-47		-7	15

Результаты работы подпрограммы в соответствии с исходными данными представлены в таблице 4.

Таблица 4 — Результаты работы подпрограммы

a	n	x=a-1 mod n	ПРОВЕРКА: (x * a-1) mod n
15	47	69	1

7 Анализ полученных результатов

Полученные данные на выходе программы подтверждают, что она работоспособна – были найдены обратные значения в простых полях Галуа по расширенному алгоритму Евклида.

8 Выводы

Алгоритм Евклида решает задачу нахождения вычисления для двух целых чисел a и n наибольшего общего делителя НОД(a,n). Алгоритм Евклида также решает задачу вычисления двух целых чисел x и y, удовлетворяющих решению уравнения a*x+n*y=НОД(a,n).

8