3 Лекция - Алгебраические основы криптографии

1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ

Для того, чтобы корректно ввести необходимые для правильного восприятия алгебраических основ криптографии, вкратце вспомним некоторые понятия из высшей алгебры, используя при их определении кванторы (обозначения логических операций) существования , существования и единственности ! , всеобщности (для любого) , обозначая множество в фигурных скобках, используя знак принадлежности . означает

Определим некоторые свойства бинарных отношений. Отношение называется

рефлексивным, если: a X (a,a) a a;

симметричным, если: (a,b) (b,a) a b b a;

транзитивным, если: (a,b) ,(b,c) (a,c) a b,b c a c;

ассиметричным, если: (a,b) :(b,a) a = b.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и асимметрично.

Отношение называется отношением строгого порядка, -- если оно рефлексивно, транзитивно, асимметрично и a,b X (a,b) (b,a) .)

Примеры: отношение равенства -- отношение эквивалентности, на множестве действительных чисел отношение - отношение строгого порядка, на множестве целых чисел отношение < - не отношение порядка (не рефлексивно).

равносильно равенствуклассов вычетов [a]m =[b]m. Любое число класса называется вычетом по модулю n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается n .

2

Назовем отображением (функцией) множества X в множество Y ( f : X Y ) правило, по которому каждому x X ставится в соответствие некоторый единственный

биективным, если оно сюръективно и инъективно одновременно.

Бинарной операцией на множестве X называется отображение декартового квадрата множества X в себя: *: X X X

a*b = c * a,b =* a,b = c, a,b,c X, a,b X X.

Операции можно обозначать *, , и т.д. Операция назвается:

ассоциативной (для операции ), если: (x1 x2) x3 = x1 (x2 x3);

дистрибутивной (для операции ) относительно операции , если:

x1 (x2 x3) = (x1 x2) (x1 x3).

R, ,* называется кольцом, если:

1.R, -- абелева группа;

2.R,* -- полугруппа;

3.операция * дистрибутивна относительно операции .

Нейтральный элемент группы X, называется нулем кольца. Кольцо называется

3

кольцом с единицей, если в полугруппе X,* есть единица. Кольцо называется

коммутативным, если полугруппа X,* коммутативна

Пример кольца: , , .

Пример конечного кольца. Операции сложения и умножения на порождают соответствующие операции на множестве m

[a]m [b]m =[a b]m;[a]m [b]m =[a b]m.

Относительно этих операций множество m является конечным кольцом и называется

кольцом вычетов по модулю m .

Коммутативное кольцо с единицей P, ,* называется полем, если все его элементы,

не равные нулю кольца образуют абелеву группу, относительно операции *. Образованная этими элементами группа называется мультипликативной группой поля.

Основные алгебраические структуры, на которых строятся современные шифры и другие криптографические системы ---это конечные группы,кольца вычетов и конечные поля

числа элементов. Число элементов в поле называется его порядком.

Конечное поле обычно обозначается Fq или GF q (сокращение от Galois field) и

называется полем Галуа порядка q , где q - число элементов поля. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является

Мультипликативная группа конечного поля циклична. То есть все ненулевые элементы поля GF q образуют группу относительно операции умножения (эта группа

называется мультипликативной группой поля и обозначается GF q * ). Эта группа является

циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением встепень порождающего.То есть,существует g -порождающийэлемент,такой

что для любого a GF q * , можно записать: n: gn = amodq . Порождающий элемент g GF q * называется также примитивным элементом поля GF q .

4

Согласно малой теореме Ферма, каждый элемент поля GF q удовлетворяет

равенству aq = a.

Согласно известной в высшей алгебре теореме о существовании и единственности конечных полей, для каждого простого числа p и натурального числа n существует

конечное поле из q = pn элементов и любое конечное поле из q элементов изоморфно полю,

которое можно построить следующим образом.

Рассмотрим множество всех многочленов над полем GF p , которое обозначим

GF p x :