Добавил:

mublaha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

Цос экзамен ответы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.06.2024

Размер:

4.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

H(z) Y(z)X(z) .

Воспользовавшись (2.6) и теоремой о дискретной свертке (раздел 2.1), выразим Z- преобразование Y(z) выходного сигнала фильтра yn через Z-преобразование X(z) входного сигнала xn

Y(z) = H(z) X(z),

где


Y(z) ynz	n	, H(z) hnz	n	, X(z)
Y(z) ynz		, H(z) hnz		, X(z)
n 0		n 0


xnz	n
xnz
n 0

Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет

собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

Рассмотрим формы программной реализации фильтра: Прямая форма

На рисунке 2.5 представлен алгоритм функционирования цифрового фильтра при прямой форме реализации. Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра yn должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1, ..xn-N и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени yn-1, yn-2, .. yn-N. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B0, B1, .. BN, A1, A2, .. AN определяют свойства фильтра.

x n		В
x n
z	-1	В
z		В
xn-1
z	-1
z		В
		В
xn-2
z	-1
z
xn-N		В
xn-N

0			y n
			y n
1		z	-1
1	-A	z
	-A
	1
			y
			n-1
	-A	z	-1
	-A	z
2	2
2
			y
			n-2
		z	-1
	-A	z
	-A
N	N
N			y
			y
			n-N

Рисунок 2.5 – Прямая форма программной реализации фильтра

Согласно схеме рисунка 2.5 запишем разностное уравнение

yn B0 xn B1xn 1 .. BN xn N A1yn 1 A2 yn 2 .. AN yn N .

Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала

Y(z) B0X(z) z 1B1X(z) z 2B2X(z) .. z NBNX(z)z 1A1Y(z) z 2A2Y(z) .. z NANY(z)

Из последнего соотношения получим

- 6 -

B B z

.. B

H(z)

1 A z

.. A

(2.7)

Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

2. Каноническая форма.

Представим выражение (2.7) в виде произведения двух функций

H(z) HA (z) HB (z) ,

где

(z)

1 A z

..A

(2.8)

(z) B

B z

..B

Согласно (2.8) цифровой фильтр с системной функцией H(z) можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров с системными функциями HA(z) и

HB(z) (рисунок 2.6).

x	H (z)	v	H (z)	y
n	H (z)	n	H (z)	n
	A		B

Рисунок 2.6 – Представление фильтра с прямой формой реализации в виде последовательного соединения двух фильтров

Действительно,

V(z) X(z)H	A	(z),
	A
Y(z) V(z)H	B	(z) X(z)H	A	(z)H	B	(z)
	B		A		B

X(z)H(z)

Заменив укрупненный алгоритм рисунка 2.6 детальным, получим схему фильтра, изображенную на рисунке 2.7.

v n

В 0

-A1

z -1

В 1

vn-1

-A2

z-1

В 2

vn-2

-AN

z-1

vn-N

В N

Рисунок 2.7 – Детальный алгоритм представления фильтра с прямой реализацией в виде последовательного соединения двух фильтров

Из рисунка видно, что для хранения одних и тех же переменных используются две линии задержки, поэтому одну из них можно удалить. При этом схема фильтра

- 7 -

преобразуется к виду, представленному на рисунке 2.8. Это и есть каноническая форма программной реализации фильтра.

xn		v n	В
	z	-1	В
-A	z	v
-A		v
1		n-1
-A	z	-1
	z	v

2			В
		n-2	В
	z	-1
-A	z
-A		v
N		v
		n-N	В
			В

0	y
	n
1

Рисунок 2.8 – Каноническая форма программной реализации фильтра

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

На рисунке 2.8 показана каноническая форма фильтра N-го порядка на одной линии задержки, состоящей из N элементов. Однако обычно вместо структуры, изображенной на рисунке 2.8, используется параллельное или последовательное

соединение звеньев второго порядка. Такое	представление фильтра	связано с
возможностью представления системной функции (2.7) в виде произведения		или суммы

системных функций с полиномами второго порядка в числителе и знаменателе

max

H(z)

L 1

max

H(z)

1 A

L 1

где L – порядковый номер звена, Lmax – максимальное значение номера звена

	N		,	если		N четное число,
Lmax		2	,	если		N четное число,
		2
				N 1
	1			N 1	,	если N нечетное число.
	1				,	если N нечетное число.
				2
				2

(2.9)

(2.10)

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B2 и A2 равны нулю.

Соотношению (2.9) соответствует схема рисунка 2.9а, а соотношению (2.10) – схема рисунка 2.9б.

- 8 -

а)

H1(z)

H2(z)

HLmax(z)

б)

H1(z)

H2(z)

HLmax(z)

Рисунок 2.9- Последовательное (а) и параллельное (б) соединение звеньев фильтра

Типовая схема звена второго порядка приведена на рисунке 2.10. На входе звена показан масштабный коэффициент ML (как правило, меньше единицы), предотвращающий появление в процессе вычислений значений сигналов фильтра, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства.

xn	M
	L

-A	z
-A
1L
-A	z
-A
2L

v	n	B	y
	n	0L	y
			n
-1		В
v		В
v		1L
	n-1
-1
v		В
	n-2	В
		2L

Рисунок 2.10 – Типовое звено второго порядка

- 9 -

Тема 2.2. Частотная характеристика фильтра.

Частотная характеристика фильтра. Частотная характеристика цифрового фильтра

Комплексным коэффициентом	передачи			фильтра	K	является	отношение
комплексной амплитуды Y выходного	сигнала			фильтра к	комплексной		амплитуде
входного синусоидального сигнала X
	K	Y	.
	K	X	.
		X
Коэффициентом передачи фильтра К называется модуль комплексного
коэффициента передачи
	K
	K	K .
Частотной характеристикой	цифрового фильтра					K( j )	называется

зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) K( ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

K( ) K( j ) .

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

( )

arg(K( j ))

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации (рисунок 2.5) комплексный сигнал с единичной амплитудой

x		e	j nT
x		e	Д
			Д
	n

cos( nT	)
Д

jsin( nT	)
Д

Согласно определению комплексного коэффициента передачи комплексный выходной сигнал должен быть равен

yn K( j )e

j nT

Из схемы рисунка 2.5 следует, что выходной комплексный сигнал фильтра

определяется следующим соотношением

K( j ) ej nTД

B ej nTД B ej (n 1)TД

ej ( n 2)TД .. B

ej (n N)TД

j (n N)T .

A K( j ) e

j (n 1)T

K( j ) e

j (n 2)T

K( j ) e

Д A

Д .. A

Из последнего соотношения получим

B B e

j T

B e

2 j T

.. B

N j T

K( j )

1 A e

j T

A e

2 j T

.. A

N j T

(2.11)

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра (2.7), можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи при известной системной функции фильтра: для нахождения

комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции

заменить z на e	j T	:
	Д

e	j

(2.12)

где	T	2 f		,	f		f	- нормированная частота – отношение текущей частоты f к
			N			N
	Д

FД

частоте дискретизации FД.

Цифровой резонатор

Цифровой резонатор (рисунок 2.11) представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B1 и B2 равны нулю, а коэффициент B0=1.

	x
M	n
M		z
		z
	-A	z
	1	z
	-A
	2

	y
-1	n
-1
-1

Рисунок 2.11 – Цифровой резонатор

Масштабный коэффициент на входе фильтра M предотвращает появление значений сигналов резонатора, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства, на котором он реализован.

Системная функция резонатора описывается следующим соотношением

H(z)		M
H(z)	1 A z	1	A	z	2
		1			2

	1		2

(2.13)

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

1 A z	1	A	z	2
1 A z		A	z
1		2

z		A
z		1
		1
	1,2	2
		2

A		2
		A
	1

	2		2

В цифровом резонаторе полюсы системной функции должны быть комплексносопряжёнными. В противном случае (2.13) представляет собой системную функцию фильтра нижних частот.

Следовательно, должно выполняться условие

A		A
			1

	2		2

При этом условии полюсы системной соотношением

	2

.

функции определяются следующим

z		A	j
z		1	j
		1
	1,2	2
		2

		A		2
A		A
A			1
			1
	2		2
			2

A	2

	e	j
	e	0
		0

(2.14)

где

			A
	arccos		1
0		2	A2

  

На рисунке 3.11 показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

z ej .

- 2 -

Im(z)

		A		2
A		A
A			1
			1
	2		2
			2

-1

e jθ

A	2

θ0

1 Re(z)

-A1/2

Рисунок 2.12 – Полюсы системной функции z1 и z2

При изменении θ от 0 до π частота

	f
	f	2
		2

изменяется от 0 до FД / 2. При этом

конец

этого

f	0
	0	2
		2

вектора		e	j	перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние
вектора		e		перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние
вектора от полюса системной функции минимально при					0 , т.е. при f

0	0	FД		- резонансная частота резонатора.
T	2	FД		- резонансная частота резонатора.
T	2
Д

Подставляя в последнее соотношение θ0 из (2.14), получим

конца f0 , где

			A
		arccos		1
				1
			2	A2
f			2	A2	F
f	0				F
	0	2			Д
		2

(2.15)

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации FД и коэффициентов системной функции A1 и A2. При A1=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A1<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A1> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A1=0. Подставляя в (2.13) z ej , получим

K( j )		M
K( j )
1	A	cos(2 )
	2

jA	2	sin(2 )
	2

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

K( )		M
			2
1 2A		cos(2 ) A
	2		2

(2.16)

( )

		A	2	sin(2 )
arctg			2
arctg	1	A				cos(2 )
	1	A			2	cos(2 )
					2

 

(2.17)

Из (2.16) видно, что на резонансной частота при 0 / 2 резонансный коэффициент передачи равен

- 3 -

K		K( )		M
K	0	K( )
	0	0	1	A
			1	A	2
					2

(2.18)

На рисунке 2.13 приведена АЧХ, рассчитанная по (2.16), а на рисунке 2.14 – ФЧХ, рассчитанная по (2.17) при A2=0.9, M=1-A2. АЧХ и ФЧХ при A2=0.99 приведены на рисунках 2.15 и 2.16 соответственно.

	1
	0.5
K
	0	0	1	2	3
		0	1	2	3

Рисунок 2.13 -АЧХ резонатора при

=0.9, A1=0, M=1-

2
1
0

1
2	0	1	2	3
	0	1	2	3

Рисунок 2.14 -ФЧХ резонатора при

=0.9,

A1=0

K( ) 0.5


Рисунок 2.15 -АЧХ резонатора при	A	=0.99, A =0, M=1-
	2	1

2 0

Рисунок 2.16 -ФЧХ резонатора при A2 =0.99, A1=0

Из приведенных графиков видно, что АЧХ цифрового резонатора по форме похожа на резонансную кривую аналогового колебательного контура, а ФЧХ резонатора

- 4 -

отличается от ФЧХ аналогового контура тем, что стремится к нулю при больших расстройках относительно резонансной частоты. Вблизи резонансной частоты ФЧХ цифрового резонатора подобна ФЧХ аналогового колебательного контура.

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А2 показывает, что при стремлении А2 к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

Для выяснения влияния коэффициента А1 на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А1<0 и при A1>0. Соответствующие графики приведены на рисунках

2.17 .. 2.20.

K 0.5

0
0	0	1	2	3

Рисунок 2.17 - АЧХ резонатора при

=0.9,	A = -0.9, M=1-
	1

0


2
2	0	1	2	3
	0	1	2	3

Рисунок 2.18 -ФЧХ резонатора при

=0.9,	A = -0.9
	1

K( )	0.5
	0	0	1	2	3
		0	1	2	3

Рисунок 2.19 - AЧХ резонатора при

=0.9, A1= 0.9, M=1-

- 5 -

1.6	2
1.6
	1
( )
	0
0.641	1 0
	1 0	1	2	3
	0

Рисунок 2.20 - ФЧХ резонатора при

=0.9,

A1=0.9

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А1 сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

Однородный фильтр

Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего. Схема фильтра приведена на рисунке 2.21.

x
n
	v				y
1	n				y
1				-1	n
		z		-1
1 N		z
1 N
	v
	n-1
		z	-1
		z
	v
	n-2
		z	-1
		z
	v
	n-N

Рисунок 2.21 – Однородный фильтр

Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями

.. v

n 1

n N

Определим Z-преобразования последовательностей vn и yn

V(z)	X(z)		,	Y(z) V(z) z	1	2	V(z) .. z	N	V(z).
	1	N			V(z) z

Определим системную функцию фильтра

	H(z)	Y(z)
		X(z)

Используя подстановку z

1								1	1 z	(1 N)
	(1 z	1	z	2	..z	N	)				1 .

N								N	1 z
							1

j , определим комплексный коэффициент передачи

- 6 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Цифровая обработка сигналов

#
21.06.202412.88 Mб2Конспект лекций.pdf
#
21.06.2024965.35 Кб3Лабараторная работа 2 Исследование цифрового резонатора.docx
#
21.06.20244.81 Mб7Цос экзамен ответы.pdf