Заключение:

При дискретизации аналогового сигнала возникают два эффекта, касающиеся спектра сигнала:

1. Эффект размножения спектра аналогового сигнала,

2. Эффект наложения сгустков спектра дискретного сигнала друг на друга.

Эффект наложения спектров приводит к искажению дискретного сигнала и невозможности точного восстановления аналогового сигнала из дискретного.

Спектр дискретного сигнала представляет собой периодическую функцию частоты, период которой равен частоте дискретизации.

Если дискретизации подвергается периодический аналоговый сигнал с линейчатым спектром, то размножение спектра осуществляется по закону:

kFд  F при k=0,1,..K

где F – частота спектральной составляющей аналогового сигнала.

Амплитуды спектральных составляющих дискретного сигнала пропорциональны соответствующим составляющим спектра аналогового сигнала.

Размножение спектра апериодического аналогового сигнала осуществляется по этому же закону, если рассматривать в качестве F характерные частоты непрерывного спектра аналогового сигнала.

Эффект наложения спектров при дискретизации отсутствует, если выполняется условие Fд >2Fmax.

Задание №2. Определение системной функции, комплексного коэффициента передачи, ачх и фчх цифрового фильтра

Требуется определить системную функцию H(z), комплексный коэффициент передачи K(jθ), АЧХ K(f_N) и ФЧХ φ(f_N) цифрового фильтра, где θ = 2π f_N, f_N=f/F_Д – нормированная частота.

Построить графики АЧХ и ФЧХ

В таблице 2 приведены номер рисунка с графическим изображением алгоритма функционирования цифрового фильтра и коэффициенты системной функции фильтра.

Номер варианта – последняя цифра номера студенческого билета.

Таблица 2. Алгоритм функционирования и параметры цифрового фильтра

Номер варианта	Номер рисунка	Коэффициенты системной функции фильтра
1	9	A= - 0.9, M=1+A

_xn M _vn -1 _yn

_Z-1

-A

Рисунок 8 (рисунок 9 МУ)

Решение:

Определим системную функцию H(z), комплексный коэффициент передачи K(jθ), АЧХ K(f_N) и ФЧХ φ(f_N) цифрового фильтра, где θ = 2π f_N, f_N=f/F_Д - нормированная частота.

Из рисунка видно, что

v_n   Аv_n1  Mx_n y_n  v_n  x_n

2. Воспользовавшись свойствами Z-преобразования, перейдем от разностных уравнений к уравнениям для Z-преобразований дискретных сигналов v_n, x_n, y_n

V (z)  MX (z)  Аz ^1V (z)

Y (z)  V (z)  X (z)

Выразим V(z) через X(z)

X (z) 

V (z)  Аz ^1V (z) M

 V (z)  ^{MX (z)}

(1  Аz ^1 )

Подставляя V(z) во второе уравнение, получим:

Y (z)   ^{MX (z)}  X (z) 

(1  Аz ^1 )

 MX (z)  (1  Аz ^1 ) X (z) (1  Аz ^1 )

Разделив Y(z) на X(z), получим системную функцию цифрового фильтра:

Н (z)  ^{Y (z)} 

X (z)

 M 1 Аz ^1

1 Аz ^1

_  (1 A) 1 Аz ^1

1 Аz ^1

_  A  Аz ^1

1 Аz ^1

1 z ^1

 

^A1 Аz ^1

Определим комплексный коэффициент передачи, используя подстановку ^{z  e}j

Найдем АЧХ линии задержки:

Построим график АЧХ (рисунок 9) при изменении f_N от 0 до 0.5 с шагом 0.0001. При-

нятый интервал изменения f_N соответствует интервалу частот от 0 до ^{FД 2} . Внутри этого

интервала (кроме частоты

^{FД 2} ) выполняется теорема Котельникова.

Из графика АЧХ следует, что данный фильтр является полосовым. Его коэффициент передачи равен 12,5 при f_N =0.25, т.е. на частоте, равной 1/4 частоты дискретизации.

Рисунок 9 - АЧХ фильтра

Определим ФЧХ фильтра

Из выражения для комплексного коэффициента передачи следует, что его аргумент равен

   arg(K( j )).

где

или

или

или

Для построения графиков АЧХ и ФЧХ воспользуемся программой, приведенной в Приложении Б. Имя программы: Расчет АЧХ и ФЧХ_1.

В строке 2 введем параметр А. В строке 3 введем параметр М.

В строке 4 задается шаг изменения нормированной частоты delta_f, а в строке 4 диапазон изменения нормированной частоты от 0 до 0.5 с шагом delta_f. Затем в цикле по порядковому номеру расчетной точки m рассчитываются значения комплексной переменной z, системной функция H, АЧХ K(m) и ФЧХ phi(m). Строки 13-21 организуют вывод графиков АЧХ и ФЧХ, которые приводятся на рисунке 11.

В среде Scilab основание натурального логарифма e записывается в виде %e, мнимая единица - %i, число π - % pi. Эти идентификаторы используются в строке 7 при записи выражения для z.

Чтобы воспользоваться данной программой при расчете других фильтров, заменим строку 8, а вместо строки 2 введем свои исходные данные.

Рисунок 11 – АЧХ и ФЧХ фильтра