Методы / Учебное пособие на практику

Задача 1.7. Рассчитайте для T = 300 К удельную электропроводность собственного кремния и невырожденного кремния, легированного донорной примесью, полагая, что на каждые 106 атомов кремния приходится 1 ионизированный атом примеси. Учтите, что в 1 см3 кристаллического кремния содержится 5 ∙ 1022 атомов и при T = 300 К ионизирован 1 из 1012 атомов.

Дополнительные сведения и пояснения. В условиях термодинамического равновесия для невырожденных полупроводников справедливо соотношение:

где pn и np – значения концентрации дырок в полупроводнике n-типа и элек-

тронов в зоне проводимости полупроводника p-типа. Соотношение (1.7) называют законом действующих масс.

Удельная электропроводность полупроводника при наличии в нем двух типов носителей зарядов (электронов зоны проводимости и дырок) определяется по формуле

e n n p p ,

где n и p – подвижность электронов и дырок. Численные значения n и

p приведены в прил. 2.

Задача 1.8. Определите минимальные значения концентрации основных носителей заряда, соответствующие при T = 300 К условию вырождения германия, кремния и арсенида галлия n- и p-типа проводимости.

Дополнительные сведения и пояснения. Электроны зоны проводимости в полупроводниках n-типа и дырки в полупроводниках p-типа называют основными носителями заряда. В вырожденном полупроводнике n-типа концентра-

где mn – эффективная масса электрона зоны проводимости. Концентрация ос-

новных носителей в вырожденном полупроводнике p-типа вычисляется по формуле

где m p – эффективная масса дырок. Значения mn и m p для указанных в усло-

виях задачи полупроводников приведены в прил. 2 [1].

11

Задача 1.9. Постройте графики зависимостей подынтегральных функций выражений (1.2) и (1.3) от значений энергий для собственного кремния, полагая

Задача 1.10. Какой вид имеют графики подынтегральных функций выражений (1.2) и (1.3), если кремний легирован донорной примесью так, что уровень Ферми на ЭД располагается на 0.2 эВ ниже дна зоны проводимости?

Задача 1.11. Как изменится вид графиков подынтегральных функций выражений (1.2) и (1.3) при введении в собственный полупроводник акцепторной примеси?

Задача 1.12. Чем отличается вид графиков подынтегральных выражений (1.2) и (1.3) в вырожденном и невырожденном полупроводниках?

2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА ПРИ НАЛИЧИИ В КРИСТАЛЛЕ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Энергетические диаграммы электронов, приведенные ранее, соответствуют термодинамическому равновесию, т. е. отсутствию в кристалле градиентов величин, характеризующих его макроскопическое состояние. В полупроводниковых приборах это условие, как правило, не выполняется из-за наличия электрического поля, описываемого макроскопическим распределением скалярного электрического потенциала φ(x). Благодаря этому все значения энергии электронов в кристалле, определенные в условиях термодинамического равновесия, изменяются на величину qφ(х), т. е. вид ЭД зависит от вида φ(х). При наличии причин, вызывающих неоднородность φ(х), для построения ЭД необходимо сначала определить вид этого распределения. В полупроводниковых кристаллах оно должно удовлетворять уравнению Пуассона:

12

где ρ(х) – плотность объемного заряда; ε – относительная диэлектрическая проницаемость.

Решение уравнения (2.1) с учетом процессов дрейфа и диффузии подвижных носителей заряда при достаточно общей постановке задачи осложняется его нелинейностью. Существенное упрощение процедуры определения вида φ(х) достигается в тех случаях, когда на основе физических соображений может быть постулирована функция ρ(х).

При неоднородном распределении потенциала уровень Ферми как параметр ЭД, характеризующий термодинамически равновесное состояние кристалла, утрачивает свой изначальный смысл. В данном случае для наглядного отображения на ЭД значений концентрации электронов зоны проводимости и дырок валентной зоны используют так называемые «квазиуровни Ферми» для электронов EF n и дырок EF p . Их положения относительно границ запрещен-

ной зоны определяются из (1.3) и (1.4), в которых значения п и р полагаются известными в результате анализа неравновесного состояния кристалла. При этом возможны ситуации, для которых в одной и той же области кристалла

EF n EF p , что означает существенное отличие вида функции распределения

электронов от функции Ферми–Дирака. В таких ситуациях говорят о расщеплении уровня Ферми на два квазиуровня.

Для невырожденных полупроводников с помощью квазиуровней Ферми оказывается возможным отобразить на ЭД не только неравновесные значения концентрации носителей заряда, но и значение протекающего по кристаллу тока, а именно:

Естественно, что при переходе кристалла от неравновесного состояния к равновесному квазиуровни Ферми сливаются с уровнем Ферми.

Задача 2.1. Изобразите энергетические диаграммы кремния п-типа проводимости при отсутствии (j(x) = 0) и при наличии в нем однородного распре-

деленного электрического потенциала φ(х) = 0 = 0,5 В.

Решение. Вид диаграмм представлен на рис. 2.1. При φ(х) = 0 положение и вид ЭД соответствуют условиям термодинамического равновесия (см. рис. 1.4, а). Наличие в полупроводнике однородно распределенного потенциала приводит к смещению всех элементов ЭД на −0,5 эВ по оси значений энергии. При этом относительное расположение элементов ЭД сохраняется.

13

Задача 2.2. Изобразите ЭД однородного электронейтрального полупроводника п-типа проводимости, находящегося под воздействием разности по-

тенциалов x1 x2 .

Дополнительные сведения и пояснения. Условия задачи иллюстрирует рис. 2.2. Наличие разности потенциалов создает в полупроводнике ток, плот-

ность которого равна jn . Электронейтральность полупроводника (ρ = 0) обес-

печивается равенством концентрации электронов зоны проводимости своему равновесному значению. Необходимое для построения ЭД распределение электрического потенциала следует в данном случае получить интегрирова-

нием (2.1) при ρ(х) = 0 и граничных условиях x1 1, x2 2 .

Решение. Результат интегрирования (2.1) для данных условий имеет вид

Энергетическая диаграмма, соответствующая такому распределению электрического потенциала, представлена на рис. 2.2. Положение на ЭД квазиуровня Ферми определено с учетом электронейтральности полупроводника и удовлетворяет условиям EF n EF , EC EF n const . Постоянство произ-

водной dEF n отражает на ЭД неизменность плотности тока в различных се- dx

чениях полупроводника.

Угол наклона уровней, образующих ЭД, определяется длиной участка по-

лупроводника x2 x1 и величиной приложенной к нему разности потенциалов

1 2 (см. (2.2), (2,3)).

14

Задача 2.3. Определите вид распределения электрического потенциала в образце однородно легированного полупроводника п-типа проводимости, в котором из поверхностного слоя толщиной W полностью удалены электроны зоны проводимости (п = 0) и постройте соответствующую энергетическую диаграмму.

Дополнительные сведения и по-

яснения. Условия задачи приведены на рис. 2.3, а, б. В пределах слоя, обедненного электронами, распределение объемного заряда однородно и имеет плотность, определяемую концентрацией ионизированных атомов

обедненного слоя (х > W) концентрация электронов соответствует равновесной п0 и, следовательно, полупроводник является электронейтраль-

ным, т. е. n0 ND и ρ = 0 (рис. 2.3, в).

Задача определения вида распределения φ(х) сводится в данном случае к интегрированию уравнения Пуассона для обедненного слоя и остального объема полупроводника при следующих граничных условиях: при х = W потенциал φ(х) и напряженность электрического поля Е(х) являются не-

прерывными функциями координаты х; при x→∞ φ(х) = 0 и E(x) = 0. Последнее означает отсутствие тока через рассматриваемый образец.

Положение квазиуровня Ферми на ЭД должно в данном случае удовле-

творять следующим условиям: dEF n 0 (ток равен нулю) при 0 < х < W; dx

EF n EF (концентрация электронов зоны проводимости соответствует равно-

весному значению) при х > W. При х = W должны удовлетворяться оба эти условия.

15

где φ(х) = 0 при х > W. ЭД, соответствующая этому распределению электрического потенциала, представлена на рис. 2.3, г, и ей отвечает непрерывное распределение концентрации электронов зоны проводимости, показанное на рис. 2.3, б пунктирной линией. Отличие его от использованной модели распределения п(х), представленной на рис. 2.3, б ступенчатой функцией, является отражением невозможности ее физической реализации.

Диффузия электронов, существование которой моделью игнорируется, приведет, конечно, к сглаживанию зависимостей п(х) и ρ(х). Тем не менее, получаемые на ее основе количественные соотношения для параметров обедненных слоев в полупроводниках оказываются пригодными для практических расчетов.

Задача 2.4. Определите вид распределения электрического потенциала в образце однородно легированного полупроводника р-типа проводимости, в котором из поверхностного слоя толщиной W полностью удалены дырки (р = 0) и постройте соответствующую энергетическую диаграмму.

Задача 2.5. Получите выражения, связывающие между собой основные параметры обедненного слоя в полупроводнике п-типа проводимости.

Дополнительные сведения и пояснения. Отображением на ЭД свойств обедненного слоя является характерное изменение положения энергетических уровней относительно квазиуровня Ферми (см. рис. 2.3, г), называемое изгибом зон. Область, в пределах которой происходит изгиб зон, называют энерге-

тическим барьером. Барьер принято характеризовать высотой e B B (см.

рис. 2.3, г), шириной W и максимальным значением напряженности электри-

ческого поля Emax в его пределах. Соотношения между этими величинами можно получить с помощью (2.4).

По определению E(x) d x . Используя (2.4), получаем dx

16

Напряженность E(x) достигает максимального значения при х = 0 и с учетом (2.5) имеет вид

Задача 2.6. Получите выражения, аналогичные (2.5) – (2.7), связывающие между собой основные параметры обедненного слоя в полупроводнике p-типа проводимости.

Указание. Воспользуйтесь результатом решения задачи 2.5.

Задача 2.7. Получите численные оценки для значений ширины обедненного слоя в вырожденном и в невырожденном кремнии n-типа проводимости

при условии, что высота энергетического барьера B = 0,3 эВ.

Задача 2.8. Оцените численно максимальное значение напряженности электрического поля в обедненном слое невырожденного арсенида галлия p-типа проводимости при условии, что высота энергетического барьера равна

0.5 эВ.

Задача 2.9. Определите соотношение между малыми приращениями заряда обедненного слоя q и разности потенциалов на его границах для полупроводника n-типа проводимости.

Дополнительные сведения и пояснения. Искомое отношение dq/dφ определяет фазовые соотношения между малыми по амплитуде переменными составляющими тока и напряжения на обедненном слое и имеет смысл его динамической емкости. В отличие от конденсатора с диэлектриком, в данном случае изменение накопленного заряда происходит не за счет соответствующего изменения на металлических обкладках, а за счет изменения ширины обедненного слоя. При этом объемная плотность заряда в нем сохраняется постоянной.

Решение. В качестве исходного выражения целесообразно использовать

2 S 0

В результате дифференцирования (2.8) по W получим:

d B qND W . dW S 0

17

С учетом того, что приращение заряда единицы площади обедненного слоя при изменении его ширины на dW выражается формулой dq qNDdW ,

представим исходный результат в виде

Подставив (2.9) в (2.5), получим окончательно:

где CS – удельная емкость обедненного слоя в полупроводнике n-типа.

Задача 2.10. Получите выражение для удельной емкости обедненного слоя в полупроводнике p-типа проводимости.

Указание. Воспользуйтесь результатами решения задачи 2.6.

3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЕРЕХОДОВ, СОДЕРЖАЩИХ ПОЛУПРОВОДНИКИ

Переходами, или контактами, называются структуры, образованные соединением двух материалов с различными электрофизическими параметрами. Различают следующие виды переходов:

–переход металл–полупроводник;

–гомопереходы, образуемые полупроводниками, отличающимися только типом и (или) концентрацией легирующей примеси;

–гетеропереходы, образуемые полупроводниками с близкими значениями постоянной решетки а и отличающиеся наряду с типом и концентрацией легирующей примеси значениями EG , f, E.

Основной электрической характеристикой перехода является зависимость тока, протекающего через структуру, от значения и полярности приложенной к ней разности потенциалов (вольт-амперной характеристики – ВАХ).

Переходы (контакты) разделяют по форме ВАХ на выпрямляющие и невыпрямляющие. Форму ВАХ выпрямляющего контакта иллюстрирует рис. 3.1. Асимметрия ВАХ обеспечивает эффективное преобразование переменного напряжения в постоянный ток (выпрямление). ВАХ невыпрямляющих контактов симметричны относительно начала координат. Важным частным случаем невыпрямляющего контакта является омический контакт, форму

18

ВАХ которого иллюстрирует рис. 3.2. Название контакта отражает тот факт,

что его ВАХ описывается законом Ома: i UR .

Форма ВАХ перехода определяется свойствами той области перехода, которая имеет наибольшее сопротивление. Если таковой является обедненный слой в невырожденном полупроводнике, то, как правило, форма ВАХ соответствует приведенной на рис. 3.1.

Если же сопротивление перехода определяется параметрами той части полупроводника, которая сохраняет состояние термодинамического равновесия, то его ВАХ будет идентична приведенной на рис. 3.2.

Эффективным методом анализа свойств переходов является построение энергетических диаграмм соответствующих структур.

3.1. Переходы металл–полупроводник

Переходы металл–полупроводник (М–П) широко используются в электронных приборах. Они могут обладать свойствами как выпрямляющих, так и невыпрямляющих контактов. В идеализированной модели перехода М–П, не учитывающей поверхностные состояния и силы зеркального изображения, его свойства определяются параметрами и типом легирующей примеси полупроводникам и разностью работ выхода электронов из металла и полупроводника. Закономерности свойств контактов отражены в таблице.

19

Разностью значений работы выхода определяется соотношение энергетических электронных подсистем металла и полупроводника. При образовании контакта М–П энергии этих подсистем выравниваются за счет перераспределения электронов между металлом и полупроводником.

В результате достигается стационарное состояние контакта, характеризуемое наличием обедненных и обогащенных электронами слоев контактирующих материалов вблизи границы их раздела. Эти слои являются источниками электрического поля, которое называют контактным полем. Соответствующее этому полю распределение электрического потенциала влияет на вид ЭД контактирующих материалов. При отсутствии внешних источников напряжения или тока стационарность состояния контакта означает равенство нулю электрического тока через него. Это отражается на ЭД независимостью положения уровня (квазиуровня) Ферми от координаты. Задача построения ЭД контакта М–П сводится, таким образом, к анализу результата перераспределения электронов между металлом и полупроводником и к определению вида распределения потенциала, соответствующего контактному электрическому полю.

Задача 3.1. Изобразите ЭД перехода металл–невырожденный полупроводник n-типа и соответствующие распределение плотности объемного заряда ρ(х), напряженности электрического поля Е(х) и потенциала φ(х) для AM AS .

Дополнительные сведения и поясне-

ния. Условия задачи иллюстрирует рис. 3.3, на котором представлены ЭД металла и полупроводника в момент образования контакта между ними. Энергии электронных подсистем выравниваются в данном случае за счет перехода части электронов зоны проводимости полупроводника в металл. Направление

потока электронов в процессе установления стационарного состояния контакта показано на рис. 3.3 стрелкой. В полупроводнике вблизи границы раздела с металлом формируется слой, полностью обедненный электронами зоны проводимости, а в металле – слой, обогащенный электронами. Характеристики обедненного слоя в полупроводнике n-типа приведены в решениях задач 2.3 и 2.5. Положительный заряд, сосредоточенный в пределах этого слоя, по значению равен отрицательному заряду обогащенного электронами слоя в металле; толщина слоя определяется радиусом экранирования Дебая и реально не превосходит нескольких нанометров.

20