Трегуб Типовики / Типовик 2 Мет. Мат. Физ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

Кафедра высшей математики

Методы математической физики

Типовой расчет по теме:

«Решение уравнения теплопроводности методом Фурье и сеточным методом»

Вариант №11

Выполнил: студент гр. №0207 Маликов Б. И.

Преподаватель: Трегуб В. Л.

Оценка: баллов

Санкт-Петербург

2022

I. Решение уравнения теплопроводности методом Фурье.

1. Сведем исходную задачу к задаче с однородными краевыми условиями. Для этого выполним замену u(x,t) = v(x,t) + w(x,t). Зададим w(x,t) = α(t)x + β(t) и подберем α(t) и β(t) так, чтобы функция w(x,t) удовлетворяла тем же краевым условиям, что и функция u(x,t):

Тогда v(x,t) будет удовлетворять однородным условиям:

Подставляя w(x,t) в краевые условия, получим:

0.2t + 0.1 = v(0,t) + β(t) => β(t) = 0.2t + 0.1

0.2cos(t) + 0.1 = (2.5,t) + α(t) => α(t) = 0.2cos(t) + 0.1

Значит:

w(x,t) = (0.2cos(t) + 0.1)x + 0.2t + 0.1

Найдем v(x,0):

u(x,t) = v(x,t) + (0.2cos(t) + 0.1) + 0.2t + 0.1

u(x,0) = x² – 4.7x + 0.1 = v(x,0) + 0.3x + 0.1 => v(x,0) = x² – 5x

Запишем краевую задачу относительно функции v(x,t):

Данную задачу решим методом Фурье. Функцию v(x,t) будем искать в виде ряда по собственным функциям оператора L_x(v) = - .

2. Решим задачу Штурма-Лиувилля.

λ= μ² > 0 => y(x) =C₁cos(μx) + C₂sin(μx)

Тогда:

= -μC₁sin(μx) +μC₂cos(μx)

При x = 0:

= C₁cos(0) + C₂sin(0) = 0 => C₁ = 0

При x = 2.5:

= μC₂cos(2.5μ) = 0

Тогда:

y(x) = C₂sin(μx), C₂ 0.

Найдем собственные числа и собственные функции оператора Штурма-Лиувилля рассматриваемой задачи:

cos(2.5μ) = 0 => 2.5μ_k = + πk; => μ_k = , k = 0, 1, 2, …

Тогда, собственные числа:

λ_k = μ_k² = , k = 0, 1, 2, …

И собственные функции:

y_k(x) = sin , k = 0, 1, 2, …

3. Функцию v(x,t) найдем в виде ряда Фурье по найденным собственным функциям дифференциального оператора y_k(x):

Функции f(x,t) = (2x+2)t и φ(x) = x² – 5x также разложим в ряды Фурье:

Вычислим и скалярные произведения:

Вычислим коэффициенты Фурье:

f_k(t) =

φ_k =

Выполним подстановку в уравнение:

Подставим ряды в начальное условие v(x,0) = x² – 5x:

Тогда:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Найдем общее решение однородного уравнения:

Тогда:

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде:

Тогда:

A_k = -λ_k(A_kt + B_k) + G_kt

где:

Найдем A_k и B_k:

A_k = (-λ_kA_k + G_k)t – λ_kB_k => =>

=>

Запишем общее решение неоднородного уравнения:

где:

Окончательное решение задачи Коши имеет вид:

При найденных значениях c_k(t), искомая функция v(x,t) представляется в виде ряда:

4. Получим решение исходной задачи u(x,t):

5. Найдем приближенное решение исходной задачи, используя N-ю частичную сумму ряда Фурье при N = 6, в точках x₁, … ,x₆, разбив промежуток [0, l] на 5 частей при t = T =0.4:

x_i =

Значения первых 6 коэффициентов c_k(T) ряда Фурье:

k	0	1	2	3	4	5
ck(T)	− 5.0068	− 0.0368	0.0195	0.0051	0.0038	0.0016

Значения функции u(x,T) в точках x₁, … , x₆:

x	0	0.5	1	1.5	2	2.5
u(x,T)	0.180	− 1.231	− 2.520	− 3.472	− 3.991	− 4.063

II. Решение уравнения теплопроводности по явной разностной схеме.

Обозначим:

Разобьем точками x₀, … , x_n промежуток [0, l] на n равных частей и точками

t₀,…, t_m промежуток [0, T] на равных частей (n = m = 5). Получим сетку, покрывающую область Ω = [0, l] x [0, T]. Обозначим (x_i, t_j) узлы сетки.

Вычислим шаги сетки по осям Ox и Ot:

h = = = 0.5

τ = = = = 0.08

Обозначим – значение искомой функции в узле (x_i, t_j).

Для нулевого временного слоя (x_i, t₀), i = 0, … , n, используем начальное условие:

i = 0, … , n

В узлах сетки (x_i, t_j) i = 1, …, n; j = 0, …, m – 1 запишем дифференциальное уравнение, заменив производные соответствующим разностным отношением:

и:

Запишем:

i = 1, …, n – 1; j = 0, …, m − 1;

В граничных узлах сетки (x₀, t_j+1) и (x_n, t_j+1), j = 0, …, m – 1 запишем заданные краевые условия:

Получим явную разностную схему для уравнения теплопроводности – систему уравнений относительно неизвестных (приближенных значений u(x,t) в узлах сетки):

i = 0, … , n

Вычислим значение функции на нулевом временном слое:

Определим значения на следующих временных слоях во внутренних точках:

и граничных точках:

Проверим выполнение условия устойчивости явной разностной схемы. Условия устойчивости:

В данной задаче:

Условие выполнено, применение явной разностной схемы возможно.

Вычислим значение функции на нулевом временном слое при t = 0:

i	0	1	2	3	4	5
x	0	0.5	1	1.5	2	2.5
	0.100	− 2.000	− 3.600	− 4.700	− 5.300	− 5.400

Для краевого условия при x = 0 найдем значение функции:

i	0	1	2	3	4
	0.08	0.16	0.24	0.32	0.40
	0.116	0.132	0.148	0.164	0.180

Вычислим значения :

i = 1, … , n – 1; j = 0, …, m – 1; x = x_n = 2.5;

Получим решение задачи по явной разностной схеме:

j \ i	0	1	2	3	4	5
0	0.100	− 2.000	− 3.600	− 4.700	− 5.300	− 5.400
1	0.116	− 1.824	− 3.424	− 4.524	− 5.124	− 4.974
2	0.132	− 1.681	− 3.224	− 4.318	− 4.832	− 4.684
3	0.148	− 1.541	− 3.015	− 4.056	− 4.532	− 4.385
4	0.164	− 1.401	− 2.788	− 3.769	− 4.209	− 4.064
5	0.180	−1.254	− 2.545	− 3.460	− 3.863	− 3.720

III. Решение уравнения теплопроводности по неявной разностной схеме.

Заданную краевую задачу запишем в узлах сетки, покрывающей область Ω.

Для нулевого временого слоя (x_i,t₀), i = 0, …, n, используя начальное условие:

i = 0, … , n

В узлах сетки (x_i,t_j), i = 1, …, n – 1; j = 1, …, m, запишем дифференциальное

уравнение, заменив производные разностным отношением, но производную по

времени аппроксимируем, используя разностное отношение «назад»:

Вторую производную по x аппроксимируем симметричным разностным

отношением:

Получим:

i = 1, …, n – 1; j = 0, …, m;

В граничных узлах сетки (x₀, t_j) и (x_n, t_j), j = 0, …, m , запишем заданные краевые условия:

Неявная схема разностной аппроксимации заданной краевой задачи:

i = 0, … , n

где - приближенное значение функции u(x,t) в узлах сетки.

Для выполнения расчетов перепишем уравнение в виде:

i = 0, … , n

Из начального условия (i = 0, … , n) определяются значения для нулевого временного слоя.

Значения (i = 0, … , n) для следующих временных слоев t_j (j = 1, …, m) можно найти, решая систему линейных уравнений.

Кратко эту систему можно записать:

A

Найдем преобразованную матрицу :

Запишем матрицу :

Определим правые части систем для всех временных слоев:

i =1, …, n-1

Для решения систем уравнений с матрицей коэффициентов будем использовать

следующие формулы (обратный ход метода прогонки):

Последовательно решим системы уравнений с верхней треугольной матрицей

Коэффициентов для временных слоев 1, …, 5:

1-й t слой: 2-й t слой:

3-й t слой: 4-й t слой:

5-й t слой:

Решение задачи по неявной разностной схеме:

j \ i	0	1	2	3	4	5
0	0.100	− 2.000	− 3.600	− 4.700	− 5.300	− 5.400
1	0.116	− 1.840	− 3.404	− 4.483	− 5.026	− 4.877
2	0.132	− 1.687	− 3.191	− 4.233	− 4.731	− 4.583
3	0.148	− 1.534	− 2.963	− 3.956	− 4.414	− 4.267
4	0.164	− 1.379	− 2.720	− 3.654	− 4.074	− 3.929
5	0.180	− 1.220	− 2.462	− 3.331	− 3.711	− 3.569