1 Семестр / Лекции Червинской / AG1_8

Алгебра и геометрия СПбГЭТУ(ЛЭТИ), ФЭЛ, 1 семестр, 8 лекция

Червинская Н. М.

1Скалярное произведение в Cn

Рассмотрим векторы пространства Cn.

Определение 1.1 Скалярным произведением векторов

ное число, равное сумме произведений координат первого вектора на числа сопряженные координатам второго вектора:

(~x; ~y) = x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn:

Поскольку ~x и ~y – матрицы, то описанное правило можно задать, используя произведение матриц:

Свойства скалярного произведения в Cn:

2)(~x; ~y) = (~y; ~x);

3)( ~x; ~y) = (~x; ~y); ((~x; ~y) = (~x; ~y));

4)(~x; ~y + ~z) = (~x; ~y) + (~x; ~z):

Доказательство.

1) (~x; ~x) = x1x1 + x2x2 + : : : + xnxn = jx1j2 + jx2j2 + : : : + jxnj2 0:

Очевидно, что (~x; ~x) = jx1j2 + jx2j2 + : : : + jxnj2 = 0 тогда и только тогда,

~

когда x1 = 0, x2 = 0, : : :, xn = 0, то есть ~x = 0.

2) (~x; ~y) = x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn =

= x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn = x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn = (~y; ~x).

3) ( ~x; ~y) = x1y1+ x2y2+: : :+ xnyn = (x1y1+x2y2+: : :+xnyn) = (~x; ~y):

4) (~x; ~y + ~z) = x1(y1 + z1) + x2(y2 + z2) + : : : + xn(yn + zn) =

= (x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn) + (x1z1 + x2z2 + : : : + xnzn) = (~x; ~y) + (~x; ~z):

Теорема 1.1 Если A 2 Mn n(C), ~x, ~y 2 Cn, то

(A~x; ~y) = (~x; A ~y):

Доказательство. Вычислим скалярное произведения, записанные в правой и левой частях равенства, используя произведение матриц.

(A~x; ~y) = ~y A~x;

1

(~x; A ~y) = (A ~y) ~x = ~y (A ) ~x = ~y A~x:

Получились одинаковые выражения. Из этого следует, что (A~x; ~y) = (~x; A ~y):

Из этой теоремы следует что, если A – это самосопряженная матрица (A = A ), то

(A~x; ~y) = (~x; A~y):

2Скалярное произведение в Rn

Рассмотрим теперь векторы пространства Rn.

Определение 2.1 Скалярным произведением векторов

ное сумме произведений соответствующих координат векторов:

(~x; ~y) = x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn:

Это правило можно задать, используя произведение матриц

2)(~x; ~y) = (~y; ~x);

3)( ~x; ~y) = (~y; ~x);

4)(~x; ~y + ~z) = (~x; ~y) + (~x; ~z):

Теорема 2.1 Если A 2 Mn n(R), ~x, ~y 2 Rn, то

(A~x; ~y) = (~x; AT ~y):

Теорема доказывается так же, как и аналогичная теорема, для матрицы и векторов комплексного пространства.

Из теоремы следует что, если A – это симметричная вещественная матрица

(A = AT ), то

(A~x; ~y) = (~x; A~y):

3Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

Теорема 3.1 Для любых векторов ~x, ~y 2 Cn(Rn) справедливо неравен-

ство:

j(~x; ~y)j2 (~x; ~x) (~y; ~y);

называемое неравенством Коши-Буняковского-Шварца.

2

~

Доказательство. 1) Если ~y = 0, тогда выполняется равенство

6~

2)Пусть ~y = 0.

Рассмотрим скалярное произведение (~x k~y; ~x k~y). Используя свойства, преобразуем это скалярное произведение

После взаимного уничтожения одинаковых слагаемых, получим

(~x k~y; ~x k~y) = (~x; ~x) ((~y;~y; ~x~y))(~x; ~y):

Поскольку для любого числа k 2 C(R) выполняется условие (~x k~y; ~x k~y) 0, то справедливо неравенство

4Норма векторов в Cn и Rn

Каждому вектору ~x 2 Rn(Cn) ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой вектора ~x, обозначается jj~xjj и при этом выполняются следующие аксиомы (аксиомы нормы):

Ному, определяемую по правилу

q jj~xjj = (~x; ~x)

называют нормой, порожденной скалярным произведением.

Если воспользоваться нормой вектора, то неравенство Коши-Буняковского- Шварца можно записать в виде:

j(~x; ~y)j jj~xjj jj~yjj:

2 3

x1

Норма вектора ~x = 6x27 пространства Rn находится по правилу:

6 7

6 ... 7

4 5 xn

q

q

jj~xjj = (~x; ~x) = x12 + x22 + : : : + xn2:

3

Теорема 5.1 Если ~a1, ~a2, : : :, ~an – ортогональный базис в пространстве

n n ~ n n ~

C (R ), b – произвольный вектор в C (R ), то b разлагается по базису

~

b = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an;

~

при этом i = (b;~ai): jj~aijj2

Координаты 1; : : : ; n, определяемые по описанному правилу, называются коэффициентами Фурье.

~

Доказательство Разложим вектор b по базису ~a1, ~a2, : : :, ~an:

~

b = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an:

~

Для нахождения координат i вектора b в этом базисе, умножим скалярно справа правую и левую часть этого равенства на вектор ~ai:

~

(b;~ai) = ( 1~a1;~ai) + ( 2~a2;~ai) + : : : + ( n~an;~ai):

Используя свойство скалярного произведения, вынесем коэффициенты i как множители за знак скалярного произведения. Поскольку базис ортогональный, то (~ai;~aj) = 0; i 6= j: Поэтому в правой части равенства останется только одно слагаемое:

Если базис ~a1, ~a2, : : :, ~an ортонормированный, то jj~aijj2 = 1 для всех векторов

~

Координаты вектора b в ортонормированном базисе – это проекции вектора

~

b на векторы ~a1, ~a2, : : :, ~an, соответственно.

Теорема 5.2 Упорядоченный набор из n ненулевых ортогональных векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an 2 Cn(Rn) образует ортогональный базис в Cn(Rn).

Доказательство Докажем, что если векторы ортогональны, то они линейно независимы. Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:

~

1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an = 0:

Покажем, что если векторы ортогональны, то в этом равенстве все коэффициенты i = 0.

5

Умножим скалярно справа правую и левую часть этого равенства на вектор ~ai. Учитывая, что векторы попарно ортогональны (~ai;~aj) = 0; i 6= j: и

~

(0;~ai) = 0, получим:

i(~ai;~ai) = 0:

Поскольку (~ai;~ai) 6= 0, то i = 0 для всех i = 1; 2; : : : ; n.

6