1 Семестр / Лекции Червинской / AG1_7

Алгебра и геометрия СПбГЭТУ(ЛЭТИ), ФЭЛ, 1 семестр, 7 лекция

Червинская Н. М.

1ПРОСТРАНСТВА Rn и Cn

Определение 1.1 Будем называть множество матриц-столбцов высотой n с вещественными элементами пространством Rn:

Rn = f[x1x2 : : : xn]T : xi 2 R i = 1; : : : ; ng;

а множество матриц -столбцов высотой n с комплексными элементами пространством Cn:

Cn = f[x1x2 : : : xn]T : xi 2 C i = 1; : : : ; ng:

Элементы этих пространств будем называть векторами и обозначать ~x, ~y,

~z, : : :

Для элементов этих пространств определены операции сложения и умноже-

1.1Линейная зависимость и линейная независимость векторов в Rn и Cn

Пусть ~a1, ~a2, : : :, ~am – векторы пространства Rn (Cn) и 1, 2, : : :, m – некоторые числа.

Выражение

1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am

называется линейной комбинацией векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am.

Определение 1.2 Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am линейную комбинацию и приравняем нулевому вектору:

~

1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am = 0:

Если полученное равенство выполняется только при

1 = 2 = : : : = m = 0;

то система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am называется линейно независимой.

1

Если равенство выполняется и среди чисел 1, 2, : : :, m есть хотя бы одно число не равное нулю, то система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am называется линейно зависимой.

Теорема 1.1 Если система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn) линейно зависима, то хотя бы один вектор из этой множества есть линейная комбинация других векторов множества.

Доказательство. Поскольку векторы линейно зависимы, то равенство

~

1~a1 + : : : + k~ak + : : : + m~am = 0

выполняется, при этом, хотя бы одно из чисел 1, 2, : : :, m не равно нулю. Пусть k 6= 0, тогда

Вектор k есть линейная комбинация других векторов множества.

Теорема 1.2 Если один вектор из системы ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn) есть линейная комбинация других векторов этого множества, то система векторов линейно зависима.

Доказательство. Предположим, что вектор ~ak есть линейная комбинация других векторов множества:

~ak = 1~a1 + : : : + k 1~ak 1 + k+1~ak+1 + : : : + m~am:

Перенесем вектор ~ak в правую сторону:

~1~a1 + : : : + k 1~ak 1 ~ak + k+1~ak+1 + : : : + m~am = 0:

Значит k = 1 6= 0. Из этого следует, что система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am линейно зависима.

Таким образом, система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn) линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор из этой системы есть линейная комбинация других векторов системы.

Теорема 1.3 Система, состоящее из одного ненулевого вектора

Доказательство. Приравняем 1~a1 нулевому вектору:

~

1~a1 = 0:

6 ~

Поскольку ~a1 = 0, то равенство возможно только при 1 = 0. Следовательно, система линейно независима.

Теорема 1.4 Система, содержащая хотя бы один нулевой вектор

2

Составим из этих векторов линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:

~ ~

1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am + m+10 = 0:

Нетрудно заметить, равенство будет выполняться, если задать 1 = 2 = : : : =m = 0 и m+1 = 1. Поскольку коэффициент m+1 6= 0, то множесво векторов линейно зависимо.

Теорема 1.5 Если какое-то подмножество системы векторов линейно зависимо, то система, содержащая это подмножество линейно зависима.

Доказательство. Рассмотрим систему векторов ~a1, : : :, ~ak, : : :, ~am 2 Rn (Cn). Пусть векторы ~a1, : : :, ~ak линейно зависимы. Для них выполняется равенство

~

1~a1 + 2~a2 + : : : + k~ak = 0:

при этом, хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Например, 1 6= 0. Рассмотрим теперь все множество векторов ~a1, : : :, ~ak, : : :, ~am. Запишем для

них равенство

~

1~a1 + : : : + k~ak + : : : + m~am = 0:

Зададим k+1 = 0, : : :, m = 0. Тогда последнее равенство будет выполняться, при этом 1 6= 0. Из этого следует, что множество векторов ~a1, : : :, ~ak, : : :, ~am линейно зависимо.

Теорема 1.6 Если множество векторов линейно независимо, то любое его подмножество линейно независимо.

Доказательство. Предположим противное. Пусть множество векторов ~a1,

: : :, ~ak, : : :, ~am линейно независимо, а его подмножество ~a1, : : :, ~ak линейно зависимо. Но поскольку множество векторов ~a1, : : :, ~ak линейно зависимо, то, согласно предыдущей теореме, множество, содержащее это подмножество линейно зависимо. Получилось противоречие. Значит, множество векторов ~a1, : : :, ~ak линейно независимо.

1.2 Признак линейной независимости n векторов в Rn и Cn

Рассмотрим n векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an 2 Rn (Cn). Составим из этих векторов матрицу

A = [~a1~a2 : : :~an] 2 Mn n:

Теорема 1.7 Система ~a1, ~a2, : : :, ~an из n векторов пространства Rn (Cn) линейно независима тогда и только тогда, когда det A 6= 0. Если

det A = 0, то система векторов линейно зависима.

Доказательство. Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейную комбинацию и приравняем нулевому вектору:

~

1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an = 0:

3

После подстановки заданных векторов

Матрица коэффициентов системы – квадратная матрица A = [~a1~a2 : : :~an]. Если det A 6= 0, то согласно теореме Крамера однородная система линейных уравнений имеет единственное нулевое решение 1 = 0, 2 = 0, : : :, n = 0.

Следовательно, система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейно независима.

Если det A = 0, то однородная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Среди них есть ненулевые. Поэтому, система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейно зависима.

Рассмотрим m векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn).

Теорема 1.8 Если m > n, то система ~a1, ~a2, : : :, ~am из m векторов пространства Rn (Cn) линейно зависима.

Доказательство. Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am линейную комбинацию и приравняем нулевому вектору:

~

1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am = 0:

Это равенство равносильно однородной системе линейных уравнений с прямоугольной матрицей коэффициетов A = [~a1~a2 : : :~am] 2 Mn m. Поскольку m > n, то количество строк в этой матрице меньше количества столбцов. Однородная система линейных уравнений с такой матрицей коэффициетов всегда имеет бесконечно много решений, среди которых есть ненулевые. Из этого следует, что система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am пространства Rn (Cn) линейно зависима.

1.3Размерность пространств Rn и Cn

Определение 1.3 Число, равное максимально возможному количеству линейно независимых векторов в пространствах Rn и Cn, называется размерностью этих пространств и обозначается dim(Rn) (dim(Cn)).

4

Покажем, что

dim(Rn) = n и dim(Cn) = n:

Рассмотрим n векторов

Рассмотрим теперь моножество ~a1, ~a2, : : :, ~an+1, содержащее n+1 произвольных вектор пространства Rn (Cn). Согласно теореме, рассмотренной в предыдущем параграфе, если количество векторов множества больше n, то множество этих векторов линейно зависимо.

Из этого следует, что dim(Rn) = n и dim(Cn) = n:

2 БАЗИС В Rn и Cn

Определение 2.1 Любой упорядоченный набор из n линейно независимых векторов пространства Rn (Cn) называется базисом этого пространства.

Система векторов

линейно независима, поэтому векторы образуют базис Rn(Cn). Этот базис называется стандартным базисом в Rn(Cn).

2 3

b1

~ 6b27 n n

Пусть b = 6 .. 7 – произвольный вектор R (C ). Очевидно, что

6 . 7

4 5 bn

~

Такое представление вектора b называется разложением вектора по стандартному базису.

n n ~

Пусть ~a1, ~a2, : : :, ~an – какой-нибудь базис в R (C ), b – произвольный вектор в Rn(Cn).

~

Определение 2.2 Представление вектора b в виде:

~

b = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an

5

~

называется раложением вектора b по базису ~a1, ~a2, : : :, ~an.

~

Числа 1, 2, : : :, n называются координатами вектора b в базисе

~a1, ~a2, : : :, ~an.

~

Если известны координаты вектора b в базисе ~a1, ~a2, : : :, ~an, то его можно записать в виде:

Если при таком описании вектора базис не указывается, то считается, что координаты вектора заданы в стандартном базисе.

~ 2 n n

Теорема 2.1 Любой вектор b R (C ) можно разложить по базису ~a1, ~a2, : : :, ~an пространства Rn(Cn):

~

b = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an

и такое разложение единственно.

Доказательство. Подставим в это равенство координаты векторов:

Это равенство равносильно системе линейных уравнений

>

>

> an1 1 + an2 2 + : : : + ann n = bn

:

Поскольку векторы ~a1, ~a2, : : :, ~an линейно независимы, то матрица коэффициентов системы A = [~a1;~a2; : : : ;~an] невырожденная (det A 6= 0). Поэтому, решение системы уравнений 1, 2, : : :, n существует и единственно.

6