![](/user_photo/92170_TUOAx.png)
1 Семестр / Лекции Червинской / AG1_7
.pdfАлгебра и геометрия СПбГЭТУ(ЛЭТИ), ФЭЛ, 1 семестр, 7 лекция
Червинская Н. М.
1ПРОСТРАНСТВА Rn и Cn
Определение 1.1 Будем называть множество матриц-столбцов высотой n с вещественными элементами пространством Rn:
Rn = f[x1x2 : : : xn]T : xi 2 R i = 1; : : : ; ng;
а множество матриц -столбцов высотой n с комплексными элементами пространством Cn:
Cn = f[x1x2 : : : xn]T : xi 2 C i = 1; : : : ; ng:
Элементы этих пространств будем называть векторами и обозначать ~x, ~y,
~z, : : :
Для элементов этих пространств определены операции сложения и умноже-
ния на число по правилам: |
|
2x1 |
|
3 |
|
||||||
если ~x = |
2x...1 |
3 |
; |
~y = |
2y...1 |
3 |
Rn(Cn), то ~x + ~y = |
+... y1 |
Rn(Cn); |
||
|
6xn7 |
|
|
6yn7 2 |
|
6xn |
+ yn7 2 |
|
|||
|
4 |
5 |
|
|
4 |
5 |
2 |
4 |
|
5 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x1 |
x1 |
если ~x = 6x...n7 |
2 Rn(Cn), – число, то ~x = 6 x... n |
|
4 |
5 |
4 |
|
|
2 3 |
0
~ .. Обозначим нулевой вектор: 0 = 6.7:
4 5
0
7 2 Rn(Cn):
5
1.1Линейная зависимость и линейная независимость векторов в Rn и Cn
Пусть ~a1, ~a2, : : :, ~am – векторы пространства Rn (Cn) и 1, 2, : : :, m – некоторые числа.
Выражение
1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am
называется линейной комбинацией векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am.
Определение 1.2 Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am линейную комбинацию и приравняем нулевому вектору:
~
1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am = 0:
Если полученное равенство выполняется только при
1 = 2 = : : : = m = 0;
то система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am называется линейно независимой.
1
![](/html/92170/253/html_GgUynp_LLZ.p6Sb/htmlconvd-eIfqvS2x1.jpg)
Если равенство выполняется и среди чисел 1, 2, : : :, m есть хотя бы одно число не равное нулю, то система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am называется линейно зависимой.
Теорема 1.1 Если система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn) линейно зависима, то хотя бы один вектор из этой множества есть линейная комбинация других векторов множества.
Доказательство. Поскольку векторы линейно зависимы, то равенство
~
1~a1 + : : : + k~ak + : : : + m~am = 0
выполняется, при этом, хотя бы одно из чисел 1, 2, : : :, m не равно нулю. Пусть k 6= 0, тогда
~a |
k |
= |
|
1 |
~a |
1 |
: : : |
|
k 1 |
~a |
k 1 |
k+1 |
~a |
k+1 |
m |
~a |
m |
: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
k |
|
k |
k |
k |
|
Вектор k есть линейная комбинация других векторов множества.
Теорема 1.2 Если один вектор из системы ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn) есть линейная комбинация других векторов этого множества, то система векторов линейно зависима.
Доказательство. Предположим, что вектор ~ak есть линейная комбинация других векторов множества:
~ak = 1~a1 + : : : + k 1~ak 1 + k+1~ak+1 + : : : + m~am:
Перенесем вектор ~ak в правую сторону:
~1~a1 + : : : + k 1~ak 1 ~ak + k+1~ak+1 + : : : + m~am = 0:
Значит k = 1 6= 0. Из этого следует, что система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am линейно зависима.
Таким образом, система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn) линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор из этой системы есть линейная комбинация других векторов системы.
Теорема 1.3 Система, состоящее из одного ненулевого вектора
~ |
2 R |
n |
n |
), линейно независима. |
~a1 6= 0 |
|
(C |
Доказательство. Приравняем 1~a1 нулевому вектору:
~
1~a1 = 0:
6 ~
Поскольку ~a1 = 0, то равенство возможно только при 1 = 0. Следовательно, система линейно независима.
Теорема 1.4 Система, содержащая хотя бы один нулевой вектор
~ |
2 R |
n |
(C |
n |
), линейно зависима. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. |
|
n |
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
~ |
2 R |
(C |
). |
||
|
Рассмотрим систему векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am, 0 |
|
|
2
Составим из этих векторов линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:
~ ~
1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am + m+10 = 0:
Нетрудно заметить, равенство будет выполняться, если задать 1 = 2 = : : : =m = 0 и m+1 = 1. Поскольку коэффициент m+1 6= 0, то множесво векторов линейно зависимо.
Теорема 1.5 Если какое-то подмножество системы векторов линейно зависимо, то система, содержащая это подмножество линейно зависима.
Доказательство. Рассмотрим систему векторов ~a1, : : :, ~ak, : : :, ~am 2 Rn (Cn). Пусть векторы ~a1, : : :, ~ak линейно зависимы. Для них выполняется равенство
~
1~a1 + 2~a2 + : : : + k~ak = 0:
при этом, хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Например, 1 6= 0. Рассмотрим теперь все множество векторов ~a1, : : :, ~ak, : : :, ~am. Запишем для
них равенство
~
1~a1 + : : : + k~ak + : : : + m~am = 0:
Зададим k+1 = 0, : : :, m = 0. Тогда последнее равенство будет выполняться, при этом 1 6= 0. Из этого следует, что множество векторов ~a1, : : :, ~ak, : : :, ~am линейно зависимо.
Теорема 1.6 Если множество векторов линейно независимо, то любое его подмножество линейно независимо.
Доказательство. Предположим противное. Пусть множество векторов ~a1,
: : :, ~ak, : : :, ~am линейно независимо, а его подмножество ~a1, : : :, ~ak линейно зависимо. Но поскольку множество векторов ~a1, : : :, ~ak линейно зависимо, то, согласно предыдущей теореме, множество, содержащее это подмножество линейно зависимо. Получилось противоречие. Значит, множество векторов ~a1, : : :, ~ak линейно независимо.
1.2 Признак линейной независимости n векторов в Rn и Cn
Рассмотрим n векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an 2 Rn (Cn). Составим из этих векторов матрицу
A = [~a1~a2 : : :~an] 2 Mn n:
Теорема 1.7 Система ~a1, ~a2, : : :, ~an из n векторов пространства Rn (Cn) линейно независима тогда и только тогда, когда det A 6= 0. Если
det A = 0, то система векторов линейно зависима.
Доказательство. Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейную комбинацию и приравняем нулевому вектору:
~
1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an = 0:
3
После подстановки заданных векторов
|
|
2a213 |
|
|
|
2a223 |
|
2a2n3 |
~ |
|
203 |
|||||
|
|
a11 |
|
|
|
a12 |
|
|
: : : ~a1 = 6 |
a1n |
|
|
0 |
|||
~a1 |
= |
6 ... |
7 |
; |
~a2 |
= |
6 ... |
7; |
|
... |
7 |
; 0 = |
6...7 |
|||
|
|
6an17 |
|
|
|
6an27 |
|
6ann7 |
|
|
607 |
|||||
|
|
6 |
7 |
|
|
|
6 |
7 |
|
6 |
|
7 |
|
|
6 7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
4 |
5 |
|
4 |
|
5 |
|
|
4 5 |
|
в это равенство, получим: |
|
2a223 |
|
|
2a2n |
3 203 |
|
|
||||||||
|
|
2a213 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 6 |
a11 |
|
|
a12 |
7 |
|
|
a1n |
7 |
|
0 |
|
|
|
|
|
... |
7 |
+ 2 |
6 ... |
+ : : : + n 6 ... |
= 6...7 |
: |
|
|||||||
|
|
6an17 |
|
|
6an27 |
|
|
6ann7 607 |
|
|
||||||
|
|
6 |
|
7 |
|
|
6 |
7 |
|
|
6 |
7 |
6 7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
4 |
5 |
|
|
4 |
5 |
4 5 |
|
|
|
Это однородная система линейных уравнений |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
8 a21 1 |
+ a22 2 |
+ : : : + a2n n |
= 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a11 1 |
+ a12 2 |
+ : : : + a1n n |
= 0 |
|
|
|
||||||
|
|
> .. |
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
||
|
|
> . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> an1 1 + an2 2 + : : : + ann n = 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
> |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно |
неизвестных , , : : :, |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Матрица коэффициентов системы – квадратная матрица A = [~a1~a2 : : :~an]. Если det A 6= 0, то согласно теореме Крамера однородная система линейных уравнений имеет единственное нулевое решение 1 = 0, 2 = 0, : : :, n = 0.
Следовательно, система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейно независима.
Если det A = 0, то однородная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Среди них есть ненулевые. Поэтому, система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~an линейно зависима.
Рассмотрим m векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am 2 Rn (Cn).
Теорема 1.8 Если m > n, то система ~a1, ~a2, : : :, ~am из m векторов пространства Rn (Cn) линейно зависима.
Доказательство. Составим из векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am линейную комбинацию и приравняем нулевому вектору:
~
1~a1 + 2~a2 + : : : + m~am = 0:
Это равенство равносильно однородной системе линейных уравнений с прямоугольной матрицей коэффициетов A = [~a1~a2 : : :~am] 2 Mn m. Поскольку m > n, то количество строк в этой матрице меньше количества столбцов. Однородная система линейных уравнений с такой матрицей коэффициетов всегда имеет бесконечно много решений, среди которых есть ненулевые. Из этого следует, что система векторов ~a1, ~a2, : : :, ~am пространства Rn (Cn) линейно зависима.
1.3Размерность пространств Rn и Cn
Определение 1.3 Число, равное максимально возможному количеству линейно независимых векторов в пространствах Rn и Cn, называется размерностью этих пространств и обозначается dim(Rn) (dim(Cn)).
4
Покажем, что
dim(Rn) = n и dim(Cn) = n:
Рассмотрим n векторов
~ |
|
203 |
|
~ |
|
213 |
|
~ |
203 |
n n |
||||||
|
|
6 |
1 |
7 |
|
|
|
6 |
0 |
7 |
|
|
6 |
0 |
7 |
|
i1 |
= |
... |
; |
i2 |
= |
... |
; |
: : : ; in = |
... |
2 R (C ): |
||||||
|
|
607 |
|
|
|
607 |
|
|
617 |
|
||||||
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
4 |
|
5 |
|
~ ~ |
~ |
6= 0, то множество этих векторов |
Поскольку det[i1i2 |
: : : in] = det(I) = 1 |
|
линейно независимо. |
|
|
Рассмотрим теперь моножество ~a1, ~a2, : : :, ~an+1, содержащее n+1 произвольных вектор пространства Rn (Cn). Согласно теореме, рассмотренной в предыдущем параграфе, если количество векторов множества больше n, то множество этих векторов линейно зависимо.
Из этого следует, что dim(Rn) = n и dim(Cn) = n:
2 БАЗИС В Rn и Cn
Определение 2.1 Любой упорядоченный набор из n линейно независимых векторов пространства Rn (Cn) называется базисом этого пространства.
Система векторов
~ |
|
203 |
|
~ |
|
213 |
|
~ |
203 |
n n |
||||||
|
|
6 |
1 |
7 |
|
|
|
6 |
0 |
7 |
|
|
6 |
0 |
7 |
|
i1 |
= |
... |
; |
i2 |
= |
... |
; |
: : : ; in = |
... |
2 R (C ) |
||||||
|
|
607 |
|
|
|
607 |
|
|
617 |
|
||||||
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
4 |
|
5 |
|
линейно независима, поэтому векторы образуют базис Rn(Cn). Этот базис называется стандартным базисом в Rn(Cn).
2 3
b1
~ 6b27 n n
Пусть b = 6 .. 7 – произвольный вектор R (C ). Очевидно, что
6 . 7
4 5 bn
~ |
~ |
~ |
~ |
b = b1i1 |
+ b2i2 |
+ : : : + bnin: |
~
Такое представление вектора b называется разложением вектора по стандартному базису.
n n ~
Пусть ~a1, ~a2, : : :, ~an – какой-нибудь базис в R (C ), b – произвольный вектор в Rn(Cn).
~
Определение 2.2 Представление вектора b в виде:
~
b = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an
5
~
называется раложением вектора b по базису ~a1, ~a2, : : :, ~an.
~
Числа 1, 2, : : :, n называются координатами вектора b в базисе
~a1, ~a2, : : :, ~an.
~
Если известны координаты вектора b в базисе ~a1, ~a2, : : :, ~an, то его можно записать в виде:
~ |
2 2 |
3 |
|
|
1 |
7 |
|
b = |
6 ... |
: |
|
|
6 n7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
6 |
7~a1;~a2;:::;~an |
|
Если при таком описании вектора базис не указывается, то считается, что координаты вектора заданы в стандартном базисе.
~ 2 n n
Теорема 2.1 Любой вектор b R (C ) можно разложить по базису ~a1, ~a2, : : :, ~an пространства Rn(Cn):
~
b = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n~an
и такое разложение единственно.
Доказательство. Подставим в это равенство координаты векторов:
2b23 |
|
2a213 |
|
2a223 |
|
2a2n3 |
|
||||||||
6 |
b1 |
7 |
|
6 |
a11 |
7 |
|
6 |
a12 |
7 |
|
6 |
a1n |
7 |
|
... |
= 1 |
... |
+ 2 |
... |
+ : : : + n |
... |
: |
||||||||
6bn7 |
|
6an17 |
|
6an27 |
|
6ann7 |
|
||||||||
6 |
|
7 |
|
6 |
|
7 |
|
6 |
|
7 |
|
6 |
|
7 |
|
4 |
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
Это равенство равносильно системе линейных уравнений
8 a21 1 |
+ a22 2 |
+ : : : + a2n n |
= b2 |
a11 1 |
+ a12 2 |
+ : : : + a1n n |
= b1 |
> .. |
|
|
.. : |
> . |
|
|
. |
> |
|
|
|
< |
|
|
|
>
>
> an1 1 + an2 2 + : : : + ann n = bn
:
Поскольку векторы ~a1, ~a2, : : :, ~an линейно независимы, то матрица коэффициентов системы A = [~a1;~a2; : : : ;~an] невырожденная (det A 6= 0). Поэтому, решение системы уравнений 1, 2, : : :, n существует и единственно.
6