1 Семестр / Лекции Червинской / AG1_6

Алгебра и геометрия СПбГЭТУ(ЛЭТИ), ФЭЛ, 1 семестр, 6 лекция

Червинская Н. М.

1 Уравнение плоскости

Пусть в пространстве выбрана некоторая декартова прямоугольная система координат.

!

(~n; M0M) = 0:

Это уравнение является уравнением плоскости в векторной форме. Вычислим скалярное произведение, используя координаты векторов,:

A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0:

Полученное уравнение называется каноническим уравнением плоскости. Раскроем скобки в этом уравнении

Ax + By + Cz Ax0 By0 Cz0 = 0:

Обозначим D = Ax0 By0 Cz0. Уравнение примет вид:

Ax + By + Cz + D = 0:

Это уравнение называется общим уравнением плоскости. Здесь, как и в каноническом уравнении, A, B и C – координаты нормального вектора. Если jAj + jBj + jCj 6= 0, то это уравнение является уравнением какой-нибудь плоскости в пространстве.

При построении плоскости, не проходящей через начало координат, удобно преобразовать уравнение к виду:

xa + yb + zc = 1:

Такое уравнение называется уравнением плоскости в отрезках. Числа a, b, c являются координатами точек пересечения плоскости и координатных осей.

Рассмотрим теперь три точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3), не лежащие на одной прямой. Выведем уравнение плоскости, проходящей через

эти точки.

1

Пусть M(x; y; z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы

Запишем это равенство, используя координаты векторов и правило вычисления смешанного произведения:

Полученное уравненияе является уравнением плоскости, проходящей через три точки.

2 Взаимное расположение двух плоскостей

Для анализа взаимного расположения двух плоскостей удобно рассмотреть векторы, перпендикулярные этим плоскостям.

Модуль ставится потому, что угол межу векторами может быть тупой.

2

3 Уравнение прямой

Пусть в пространстве выбрана некоторая декартова прямоугольная система ко-

23

Это уравнение является уравнением прямой в векторной форме. Запишем его, используя координаты векторов:

Полученные уравнения назваются параметрическими уравнениями прямой. Эти уравнения часто записывают, используя радиус-векторы точек M(x; y; z)

xx0

иM0(x0; y0; z0). Пусть ~r = 4y5 и r~0 = 4y05 – радиус-векторы соответствующих

можно записать в виде:

~

~r = r~0 + td:

Очевидно, что параметрические уравнения прямой можно преобразовать к виду:

Эти равенства называются каноническими уравнениями прямой.

3

Если плоскости P1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 и P2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0

пересекаются, то их линия пересечения – прямая. Поэтому система

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

– это еще один способ задания прямой в пространстве.

4 Уравнение отрезка

Рассмотрим две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2). Напишем уравнение отрезка [M1M2]. Пусть M(x; y; z) – произвольная точка, лежащая на отрезке. Векторы

при этом 0 t 1.

Это уравнение отрезка [M1M2], записанное в векторной форме. Запишем это уравнение, используя координаты векторов:

Такие уравнения называются параметрическими уравнениями отрезка. При t = 0 и t = 1 получим координаты точек M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2)

соответственно. Если задать t = 12, то найдем координаты точки M0(x0; y0; z0), являющейся серединой отрезка [M1M2]:

Если векторы d и ~n коллинеарны, то есть d = ~n, то прямая L перпендику-

лярна плоскости P .

Если векторы не перпендикулярны и не коллинеарны, то прямая L и плоскость P пересекаются под некоторым углом.

4

Определение 5.1 Углом между прямой плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.

5