1 Семестр / Лекции Червинской / AG1_5

Алгебра и геометрия СПбГЭТУ(ЛЭТИ), ФЭЛ, 1 семестр, 5 лекция

Червинская Н. М.

1 Геометрические векторы

Геометрическим вектором (вектором) называется любой направленный отрезок.

~ j j j~j j j

Векторы будем обозначать ~a, b, ~c : : : . Длины векторов – ~a , b , ~c : : :. Если

необходимо выделить один конкретный вектор, то указывают начало и конец

!

этого вектора. При этом вектор обозначают AB, где A – точка начала, а B –

точка конца вектора.

~

Определение 1.1 Два вектора ~a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой.

k ~

Будем обозначать коллинеарные векторы ~a b.

~

Определение 1.2 Три вектора ~a, b и ~c называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Для для геометрических векторов определены операции умножения на число и сложения.

6 ~

Определение 1.3 Произведением вектора ~a = 0 на число

(пишут ~a или ~a) называется вектор, длина которого находится по правилу j~a j = j~aj j j, при этом, если > 0, то направление этого вектора совпадает с направлением вектора ~a, если < 0, то этот вектор направлен в сторону, противоположную вектору ~a.

Определение 1.4 Если совместить конец вектора ~a и начало вектора

~

b, то вектор, начало которого совпадает с началом вектора ~a, а конец совпа-

~ ~

дает с концом вектора b, называется суммой векторов ~a и b и обозначается

~

~a + b.

Описанное правило сложения векторов называется правилом треугольника. Выделим в пространстве 3 взаимно перпендикулярных единичных вектора

~ ~ ~

i, j, k и произвольную точку O. Совместим начала этих векторов с точкой O и проведем через векторы координатные оси. Единица измерения осей равна длине векторов.

Таким образом построим декартову прямоугольную систему координат.

Рассмотрим произвольный геометрический вектор ~a. Отождествим этот век-

!

тор с вектором OM, начало которого, совпадает с началом координат O(0; 0; 0),

!

а конец находится в точке M(x; y; z). Вектор OM – это радиус-вектор точки M. Нетрудно заметить, что используя правило сложения геометрических векторов, любой вектор ~a можно представить в виде:

1

!

Рассмотрим произвольный вектор M1M2, где M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2)

– точки начала и конца вектора. Очевидно что

Очевидно, что длина вектора ~a находится по правилу:

!

Тогда длина вектора M1M2, равная расстоянию между точками M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2), определяется по формуле:

! q

jM1M2j = jM1M2j = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2:

Определение 1.5 Множество упорядоченных наборов из трех вещественных чисел называется пространством R3:

2 3

x

R3 = f4y5 : x; y; z 2 Rg: z

Поскольку между элементами множества геометрических векторов трехмерного пространства и элементами пространства R3 можно установить взаимно однозначное соответствие, то в дальнейшем будем эти множества отождествлять.

2

векторами ~a и b не определен, но поскольку j~aj = j0j = 0, то для вычисления

скалярного произведения векторов также используется описанное правило. Согласно определению (a;~a) = j~aj2.

Таким образом, длина вектора выражается через скалярное произведение по правилу:

q

j~aj = (a;~):

~

Определение 2.2 Векторы ~a и b называются ортогональными (перпендикулярными), если

Из этих формул следует геометрический смысл скалярного произведения.

j j ~ ~

Если ~a = 1, то скалярное произведение (~a; b) есть проекция вектора b на единичный вектор ~a:

~ ~ j j

(~a; b) = Пр~ab ( ~a = 1):

3

Свойства скалярного произведения векторов в R3:

~~

1)(~a; b) = (b;~a);

~~

2)( ~a; b) = (~a; b);

~~

3)(~a; b + ~c) = (~a; b) + (~a;~c).

Доказательство

Свойства 1) и 2). Равенства следуют из определения скалярного произведе-

ния.

Докажем свойство 3). Выразим скалярное произведение векторов через проекцию:

~ ~ ~ ~

(~a; b + ~c) = Пр~a(b + ~c) = Пр~ab + Пр~a~c = (~a; b) + (~a;~c):

3) Векторы ~a, b, ~c образуют правую тройку, т. е. наименьший поворот от

~

вектора ~a к вектору b, наблюдаемый из конца вектора ~c, происходит против часовой стрелки.

4

4 Смешанное произведение векторов в R3

~ 2 3

Определение 4.1 Смешанным произведением векторов ~a, b, ~c R называется число, равное скалярному произведению вектора ~a на векторное про-

~

изведение векторов b и ~c:

~ (~a; b ~c):

5

a1

Доказательство Найдем скалярное произведение вектора ~a = 4a25 и век-

a3

тора

Из свойств определителя матрицы следует следующее свойство смешанного

(~a; b ~c) = (c;~a b) = (b;~c ~a):

~

Очевидно, что если среди векторов ~a, b, ~c есть нулевой, то смешанное произведение векторов равно нулю.

Выясним геометрический смысл смешанного произведения ненулевых век-

(~a; b ~c) = jb ~cj Пр ~ ~a:

(b ~c)

Первый множитель численно равен площади S параллелограмма, построен-

~

ного на векторах b и ~c:

j~ j

b ~c = S:

~

Если векторы ~a, b и ~c образуют правую тройку, то второй множитель равен

~

высоте h параллелепипеда, построенного на векторах ~a, b и ~c, опущенной из

~

конца вектора ~a на плоскость векторов b и ~c:

Пр ~ ~a = h:

(b ~c)

~

Если тройка векторов ~a, b и ~c левая, то

Пр ~ ~a = h:

(b ~c)

~

Следовательно, модуль смешанного произведения векторов ~a, b, ~c равен объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах:

j ~ j

(~a; b ~c) = S h = V:

6

5 Двойное векторное произведение векторов в R3

~

Определение 5.1 Двойным векторным произведением векторов ~a, b, ~c 2 R3 называется вектор, равный векторному произведению вектора ~a на век-

~

торное произведение векторов b и ~c:

~

~a (b ~c):

~

Другое обозначение двойного векторного произведения векторов [~a; [b;~c]]: Утверждение Двойное векторное произведение есть вектор, компланарный

~

векторам b и ~c, при этом справедливо равенство:

~ ~ ~ ~a (b ~c) = b(~a;~c) ~c(~a; b):

Доказательство Доказывается непосредственным вычислением значений выражений правой и левой частей.

7