КР1 Дифференциальное исчисление

1. Найдите .

При подстановке значения в выражение, стоящее под знаком предела, неопределенности не возникает. Тогда получаем:

.

2. Найдите .

Используем второй замечательный предел:

.

3. Проверьте непрерывность функции для . Для точек разрыва установите их характер. При каком функция будет непрерывной?

Для данная функция имеет вид . Рассмотрим точку :

, .

Отсюда следует, что точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен . Найдем , при котором данная функция будет непрерывной:

, , .

4. Найдите производные функций:

а) ;

б) ;

в) .

а) .

Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

.

б) .

Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

.

в) .

Используем логарифмическую производную, правила дифференцирования и таблицу производных:

,

,

.

5. Вычислите дифференциалы первого и второго порядка для функции .

Найдем производную первого порядка:

.

Найдем производную второго порядка:

.

Тогда получаем:

- дифференциал первого порядка,

- дифференциал второго порядка.

6. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика.

1. Область определения функции .

Рассмотрим точку :

,

.

Отсюда следует, что точка является точкой разрыва второго рода.

2. Четность и нечетность.

При замене на получаем, что и , откуда следует, что данная функция не является ни четной, ни нечетной, то есть данная функция является функцией общего вида.

3. Асимптоты и поведение функции на концах области определения.

Вертикальная асимптота – прямая . Ищем наклонные асимптоты вида :

,

.

Отсюда следует, что есть наклонная асимптота – прямая . Концами области определения являются . Тогда получаем:

.

4. Пересечение графика функции с осями координат.

Если , то . Если , то , откуда . Следовательно, график функции пересекает ось OX в точках с координатами и , и график функции пересекает ось OY в точке с координатами .

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

Найдем первую производную данной функции и приравняем ее нулю:

,

- нет действительных решений.

Отсюда следует, что точек экстремума нет. Исследуем знак на каждом из интервалов области определения функции:

- при - функция возрастает;

- при - функция возрастает.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.

Найдем вторую производную данной функции и приравняем ее нулю:

.

Отсюда следует, то точек перегиба нет. Исследуем знак на каждом из интервалов области определения функции:

- при - график функции вогнутый;

- при - график функции выпуклый.

7. На основании полученных данных строим график функции:

7. Найдите полный дифференциал функции .

Найдем частные производные первого порядка:

, , .

Тогда полный дифференциал имеет вид:

.

8. Проверьте, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Найдем частную производную :

.

Найдем частные производные :

, .

Тогда получаем:

.

Следовательно, данная функция удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

9. Найти производную функцию в точке по направлению к точке .

Найдем частные производные первого порядка и их значения в точке :

, ,

, ,

, .

Из точки в точку направлен вектор . Найдем его направляющие векторы:

,

,

.

Тогда искомая производная равна:

.