Вопросы Савин В.Ю
.pdfВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
для групп института ИЯФИТ, весна 2024, 1 курс
Лектор: Савин В.Ю.
1.Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Теорема Крамера.
2.Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений. Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
3.Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства их решений.
Критерий наличия ненулевых решений.
4.Фундаментальные системы решений ОСЛАУ. Поиск НФСР методом Крамера. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.
5.Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
6.Определение линейного пространства. Единственность нулевого и противоположного элементов. Примеры линейных пространств.
7.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости.
8.Два определения базиса пространства и их эквивалентность. Размерность пространства.
9.Конечномерные и бесконечномерные пространства. Теорема о связи базиса и размерности линейного пространства.
10.Изоморфизм линейных пространств. Теорем об изоморфности конечномерных линейных пространств.
11.Определение подпространства линейного пространства. Примеры подпространств.
12.Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.
13.Определение пересечения и суммы подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.
14.Прямая сумма подпространств. Теорема о необходимом и достаточном условии, при котором сумма двух подпространств является прямой. Следствия из этой теоремы.
15.Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
16.Линейные нормированные пространства. Неравенство треугольника. Связь нормы и скалярного произведения. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в различных пространствах.
17.Общий вид скалярного произведения в унитарном пространстве.
18.Ортонормированная система. Ортонормированный базис. Линейная независимость ОНС.
19.Существование ОНБ (теорема Шмидта об ортогонализации).
20.Изоморфизм унитарных пространств.
21.Ортогональные подмножества унитарного пространства. Ортогональное дополнение подмножества. Теорема о разложении унитарного пространства в прямую сумму подпространств. Следствия.
22.Ортогональная проекция вектора на линейное подпространство. Проекция суммы векторов и произведения вектора на число.
23.Понятие линейного оператора и основные операции над ними. Примеры линейных операторов. Линейное пространство L(X,Y).
24.Образ и ядро линейного оператора. Теорема о сумме размерностей образа и ядра оператора. Обратная теорема.
25.Обратный оператор и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора.
26.Матрица линейного оператора. Представление линейного оператора в данном базисе при помощи матрицы. Матрица суммы операторов, произведения оператора на число,
произведения операторов и обратного оператора. Изоморфность пространства линейных операторов и пространства матриц.
27.Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому.
Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
28.Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому.
Определитель линейного оператора.
29.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Характеристическое уравнение. Теорема о нахождении собственных векторов линейного оператора.
30.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения и связь между ними.
31.Инвариантное подпространство относительно оператора А. Примеры. Свойства собственных векторов линейного оператора.
32.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Два критерия диагонализируемости матрицы линейного оператора. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду.
33.Линейные формы в линейном пространстве. Сопряжённое пространство, его размерность.
34.Координаты линейной формы. Преобразование координат линейной формы при переходе к новому базису.
35.Билинейные формы в действительном линейном пространстве, их представление через координаты. Разложение билинейной формы на сумму симметричных и кососимметричных составляющих. Матрица билинейной формы.
36.Взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и матрицами.
Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.
37.Квадратичные формы в линейном пространстве. Полярная билинейная форма.
Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа
(конструктивно).
38.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби (без доказательства). Закон инерции квадратичных форм.
39.Классификация квадратичных форм. Теорема о классификации квадратичных форм через индексы инерции. Критерий Сильвестра (без доказательства).
40.Полуторалинейные формы. Эрмитова полуторалинейная форма и эрмитова матрица,
связь между ними. Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы.
41.Представление линейной формы в унитарном пространстве. Представление полуторалинейной формы в унитарном пространстве (без доказательства).
42.Понятие сопряжённого оператора и его свойства. Матрица сопряжённого оператора.
43.Понятие нормального оператора и его свойства.
44.Понятие унитарного (ортогонального) оператора и его свойства (без доказательства).
45.Свойства унитарных (ортогональных) операторов (обратный оператор и произведение операторов) и матриц.
46.Основная спектральная теорема нормальных операторов.
47.Связь между нормальными, самосопряжёнными и унитарными операторами.
48.Основные спектральные теоремы самосопряжённых операторов и унитарных операторов.
49.Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду унитарным преобразованием.