Тестовые задания_Муравьёв
.pdfБАНК Тестовых заданий по курсу «Квантовая механика»
(для всех групп факультета Экспериментальной и теоретической физики МИФИ)
1СЕМЕСТР
1.Математические основы квантовой механики: линейные пространства,
операторы, матрицы, -функция
1. Оператор ˆ , действующий в некотором линейном пространстве, является эрмитовым, если для
A
любых элементов 1 и 2 этого пространства имеет место равенство:
а.
в.
ˆ |
, |
|
A |
2 |
|
1 |
|
|
ˆ |
, |
|
A |
2 |
|
1 |
|
2
1
ˆ , A
ˆ , A
1
2
б.
г.
|
1 |
|
2 |
|
|
|
ˆ |
, |
|
* |
|
|
A |
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
ˆ |
, |
|
* |
|
|
A |
|
|
1
2
ˆ , A
ˆ , A
2
1
где ... , ... - скалярное произведение элементов пространства.
2. Какой из перечисленных операторов, действующих в линейном пространстве комплексных функций одной переменной, является линейным?
а. комплексного сопряжения |
б. взятия действительной части |
в. возведения по модулю в квадрат |
г. никакой из перечисленных |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
3. Операторы |
A |
и |
B |
, действующие в некотором линейном пространстве, коммутируют, |
|
|
|
||||
любого элемента этого пространства |
имеет место равенство: |
||||
если для
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
а. AB BA |
б. A , , B |
|
|
||
в. A B |
|||||
где |
... , ... |
- скалярное произведение элементов пространства. |
4. Какая из четырех матриц является матрицей эрмитового оператора?
г.
ˆ |
ˆ |
A B |
|
а.
1 |
i |
|
|
|
|
i |
2 |
|
1 |
1 |
б. |
|
1 |
2 i |
в.
1 |
i |
||
|
i |
2 |
|
|
|
||
г.
1 |
2 |
||
|
3 |
4 |
|
|
|
||
5. Чему равен коммутатор операторов d / dx и умножения на функцию f (x) ?
а. оператору d / dx , б. оператору умножения на функцию f (x)
1
в. оператору умножения на функцию |
|
г. оператору d |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
f (x) |
|
/ dx |
|
|
|
|
|||||
6. Чему равен коммутатор операторов четности |
ˆ |
|
|
|
|
|
f (x) ? |
|
|||
P и умножения на функцию |
|
|
|||||||||
а. оператору |
ˆ |
б. оператору |
ˆ |
в. оператору |
|
ˆ |
|
||||
P |
f (x)P |
f ( x)P |
|
||||||||
г. оператору |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ f ( x) f (x)]P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Оператор |
id / dx , |
действующий в пространстве функций, |
заданных на интервале |
( , ) , в |
|||||||
котором определено скалярное произведение, является |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а. эрмитовым |
б. унитарным |
в. совпадающим со своим обратным |
г. нелинейным |
||||||||
8. Чему равен оператор
AB |
|
ˆ ˆ |
|
|
|
?
|
ˆ ˆ |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
а. |
A B |
б. |
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ˆ ˆ |
1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|||
9. Чему равен оператор AB |
|
||||||
в.
ˆ |
ˆ |
A |
B |
г.
ˆ ˆ B A
а.
ˆ A
1
ˆ B
1
б.
ˆ 1 |
ˆ 1 |
A |
B |
в.
ˆ 1 |
ˆ 1 |
A |
B |
г.
ˆ B
1
ˆ A
1
|
|
10. Чему равен интеграл |
f (x) (x2 4)dx |
|
|
(где
(... |
) |
- |
-функция, |
f (x)
- непрерывная функция
координаты)?
а. 4 f (2) f ( 2)
б.
4 f (2) f ( 2)
в.
1 |
f (2) |
f ( 2) |
|
4 |
|||
|
|
г.
1 |
f (2) |
f ( 2) |
|
4 |
|||
|
|
2
2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные
значения и собственные функции
1. Привести матрицу оператора к диагональному виду значит |
|
|
|
а. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, нулями |
|
б. |
выбрать |
другой базис, в котором матрица оператора кратна единичной |
в. |
выбрать |
другой |
базис, в котором матрица оператора равна единичной |
г. выбрать |
другой |
базис, в |
котором ненулевые элементы в матрице оператора находятся на главной диагонали.
2. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать собственные функции некоторого эрмитового оператора, то его матрица
а. равна единичной |
б. кратна единичной |
|
в. диагональная |
|
г. нулевая |
|||
3. Пусть f1(x) и |
f2 |
(x) - собственные функции некоторого оператора, отвечающие собственным |
||||||
значениям a1 и a2 |
. Функция C1 f1(x) C2 f2 (x) |
( C1 |
и |
C2 - произвольные числа) |
|
|
||
а. будет собственной функцией того же оператора |
|
б. будет собственной функцией того же |
||||||
оператора только в том случае, когда a1 a2 |
в. |
никогда не будет собственной функцией того |
||||||
же оператора |
|
г. зависит от функций f1 |
(x) и |
f2 |
(x) . |
|
|
|
4. Собственные значения унитарного оператора |
|
|
|
|
|
|||
а. действительны |
|
б. чисто мнимы |
|
|
в. квадраты из модулей равны 1 |
|
||
г. все равны 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Собственные значения любого эрмитового оператора |
|
|
|
|||||
а. положительны |
|
б. отрицательны |
|
|
в. вещественны |
|
г. |
чисто |
мнимы |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Спектр собственных значений оператора является дискретным. Это значит, что |
|
|||||||
а. оператор имеет бесконечное количество собственных значений |
б. |
оператор |
имеет |
|||||
бесконечное количество положительных собственных значений |
в. |
собственные |
||||||
значения можно пересчитать, даже если их число бесконечно |
г. |
собственным |
||||||
значением является любое число из некоторого интервала значений. |
|
|
|
|||||
7. Спектр собственных значений оператора является непрерывным. Это значит, что
3
а. оператор не имеет собственных значений |
б. оператор имеет конечное число |
|
собственных значений |
в. |
собственные значения можно пересчитать, даже если |
их число бесконечно |
г. собственным |
значением является любое число из некоторого |
интервала значений. |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
8. Чему равны собственные значения оператора, заданного матрицей |
i |
|||||
|
|
|
|
|
||
а. +1 и –1 |
|
б. 0 и 1 |
в. 0 и –1 |
г. – i и + i |
|
|
9. Сколько собственных значений имеет оператор, заданный матрицей |
1 |
|||||
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а. одно |
б. два |
в. три |
г. четыре |
|
|
|
i 0
|
? |
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
?
10. Собственное значение оператора вырождено, если |
|
|
а. этому значению отвечает одна собственная функция |
б. этому значению отвечает две или |
|
более линейно независимых собственных функции |
в. это значение равно нулю |
г. это |
значение не равно нулю |
|
|
4
3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия
1. В некоторый момент времени нормированная волновая функция системы имеет вид
(x) |
1 |
|
|
(x) |
|
2 |
|
|
|
(x) , где |
|
|
|
A 1 |
3 |
A 3 |
|||||||
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A 1 |
|
(x)
и
|
A 3 |
|
(x)
- нормированные собственные функции
оператора |
физической |
величины |
ˆ |
собственным |
значениям |
A 1 |
и |
A 3, |
|||
A , отвечающие |
|||||||||||
соответственно. Среднее значение величины физической величины A |
в этот момент равно |
|
|||||||||
а. |
7 / 3 |
б. |
2 |
в. 5/ 3 |
г. |
4 / 3 |
|
|
|
|
|
2. |
Квантовая система |
описывается |
нормированной |
волновой |
функцией |
(x, t) . Физической |
|||||
величине |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
в. или г. – |
||
A отвечает квантово-механический оператор A . По какой формуле – а., б., |
|||||||||||
можно вычислить среднее значение результатов многих измерений величины A |
над ансамблем |
||||||||||
тождественных квантовых систем? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а. |
* |
ˆ |
|
(x, t) A (x, t)dx |
б.
ˆ |
(x, t) | |
2 |
dx |
A | |
|
в.
| |
2 |
ˆ |
(x, t) | |
Adx |
г.
ˆ |
2 |
dx |
A | (x, t) | |
||
3. Физическая величина |
A |
имеет |
в состоянии |
с волновой функцией |
(x, t) |
определенное |
||
значение, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
а. не зависит от времени |
|
|
б. |
(x, t) |
совпадает с одной из собственных функций |
|||
оператора этой физической величины |
ˆ |
|
|
в. (x, t) является собственной функцией |
||||
A , |
|
|
||||||
оператора Гамильтона системы |
г. |
|
не зависит от координат |
|
|
|||
|
|
|
||||||
4. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора
некоторой |
физической величины |
A |
равны: a 1 и |
f |
(x) Bsin(x / a) (первое собственное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
значение |
и |
отвечающая ему |
собственная |
функция), |
a2 |
2 |
и |
f2 (x) Bsin(2x / a) , |
a3 3 |
и |
||||
f3 (x) B sin(3x / a) , …. (где a |
и B |
- некоторые числа, одинаковые для всех функций). Волновая |
||||||||||||
функция |
частицы |
в некоторый |
момент |
времени равна |
(x) C sin(2x / a) cos(5x / a) . Какие |
|||||||||
значения величины |
A |
можно обнаружить при измерениях в этот момент времени? |
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
а. 1 и 2 |
|
|
б. любое целое положительное число |
|
|
|
в. 2 и 5 |
г. 3 и 7 |
|
|||||
5. Собственные значения и отвечающие им нормированные
некоторой |
физической величины A равны: |
a 1 и |
f |
(x) |
|
|
1 |
1 |
|
значение |
и отвечающая ему собственная |
функция), |
a2 |
|
собственные функции оператора
Bsin(x / a) (первое собственное |
|
2 и f2 (x) Bsin(2x / a) , |
a3 3 |
и f3 (x) B sin(3x / a) ,
5
…. (где |
a |
некоторый
величины а. 5
и |
B - некоторые числа, |
одинаковые для всех функций). Волновая функция частицы в |
|
момент времени равна |
(x) C sin(2x / a) cos(5x / a) . Чему равно среднее значение |
||
A |
в этот момент времени? |
|
|
|
б. 6 |
в. 7 |
г. 8 |
6. |
Оператор физической величины |
A |
имеет непрерывный спектр собственных значений |
a и |
||||||||||||||||||
собственных функций |
fa (x) . Какая из ниже перечисленных формул выражает собой разложение |
|||||||||||||||||||||
волновой функции частицы (x, t) по собственным функциям? |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
А. |
(x, t) C(a, t) fa (x)da |
|
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
fa (x) C(x, t) (x, t)dt |
|||||||||
|
(x, t) C(x , t) fa (x )dx |
|
|
|||||||||||||||||||
г. |
fa (t) |
|
C(x) (x, t)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Оператор физической величины |
A |
имеет непрерывный спектр собственных значений |
a и |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
собственных функций |
fa (x) |
( fa (x) |
нормированы на |
-функцию от |
a ). Разложение волновой |
|||||||||||||||||
функции частицы (x, t) по собственным функциям имеет вид |
(x, t) |
|
C(a, t) fa (x)da , где |
C(a) |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
- |
коэффициенты разложения, причем |
функция |
C(a) |
конечна во всех точках. Чему равна |
||||||||||||||||||
вероятность того, что при измерении физической величины |
A |
будет получено некоторое значение |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
из малого интервала da |
вблизи значения a0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
А. |
| C(a0 ) | |
2 |
|
б. | C(a0 ) |
2 |
|
|
в. нулю, так как интервал da - мал |
|
|||||||||||||
|
|
|
| da |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
| f |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г. |
|
a |
(x) | dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Физическая величина |
A |
в некоторой квантовой системе может принимать два значения 1 и 4. В |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
результате проведения многократных измерений над ансамблем тождественных квантовых систем
|
|
|
A 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
оказалось, что |
( A |
- |
среднее значение |
результатов |
этих экспериментов). Чему равны |
||||||||||||||
вероятности обнаружения возможных значений величины |
A |
в этом эксперименте? |
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
А. w(1) 1/ 4, |
w(4) 3 / 4 |
|
б. w(1) 1/ 3, |
w(4) 2 / 3 |
|
|
в. |
w(1) 3 / 4, |
w(4) 1/ 4 |
||||||||||
|
|
г. w(1) 2 / 3, |
w(4) 1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. Физическая величина |
A |
в некоторой квантовой системе может принимать три значения 1, 4 и 5 |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
с вероятностями w(1) 1/ 6, |
w(4) 1/ 3, |
w(5) 1/ 2 . Чему равно среднее значение результатов |
|||||||||||||||||
многих измерений величина A ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А. A 2 |
б. A 3 |
|
в. A 4 |
|
|
г. A 5 |
|
|
|||||||||||
6
10. Волновая функция некоторой квантовой системы в некоторый момент времени совпадает с |
n - |
ой собственной функцией оператора физической величина |
ˆ |
измерении физической |
|||
A . При |
|||||
величины A |
в этот момент времени будут получены |
|
|
|
|
а. n 1-ое и |
n 1-ое собственные значения с одинаковыми вероятностями |
б. |
n -ое собственное |
||
значение с единичной вероятностью |
в. все собственные значения с равными вероятностями |
||||
г. все собственные значения с номерами, меньшими или равными |
n |
|
|
||
7
4. Операторы координаты и импульса. Различные представления волновой
функции
1. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией (x, t) , которая может
быть представлена в виде интеграла |
(x, t) |
|
dp C( p, t) p |
(x) , где |
p (x) - нормированная на |
- |
|
функцию от импульса собственная функция оператора импульса. Вероятность того, что в момент
времени |
t |
импульс частицы лежит в интервале |
p p dp , где |
dp |
- некоторый малый интервал |
|||||
импульса, равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а. нулю |
|
б. |
C( p,t) dp |
в. p (x) |
2 |
dp |
|
г. C( p, t) |
2 |
dp |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
2. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией |
(x, t) , которая может |
быть представлена в виде интеграла |
(x, t) |
|
dp C( p, t) p |
(x) , где |
p (x) - нормированная на |
- |
|
функцию от импульса собственная функция оператора импульса. Вероятность того, что при
измерении импульса частицы в момент времени t будет обнаружено некоторое значение |
p0 |
, |
||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
а. p |
(x) |
б. C( p0 ,t) |
в. нулю |
г. |
C( p0 , t) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Коммутатор операторов координаты и проекции импульса |
ˆ ˆ |
равен |
|
|
|
|
|||||||
x , px |
|
|
|
|
|||||||||
ˆ |
|
|
б. |
xˆ |
|
в. i |
|
г. нулю |
|
|
|
|
|
а. px |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией (x) Ax exp( x |
2 |
/ 2a |
2 |
) , |
|||||||||
|
|
||||||||||||
где |
A |
и a - некоторые числа. Средний импульс частицы в этом состоянии равен |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
а. нулю |
б. |
p |
/ a |
в. p |
/ 2a |
г. p |
/ 4a |
|
|
|
|
||
5. Нормированная на |
-функцию от координаты собственная функция оператора координаты, |
||||||||||||
отвечающая собственному значению a , в координатном представлении равна |
|
|
|
|
|||||||||
а.
exp(ix / a)
б.
(x
-
a)
,
в.
sin( x / a)
г.
(x / a)
6. Интеграл от квадрата собственной функции оператора координаты |
|
||
а. сходится |
б. расходится |
в. зависит от собственного значения |
г. равен нулю |
8
7. Какова |
размерность нормированных на -функцию от |
оператора |
координаты в координатном представлении |
координаты собственных функций
а. длина
б.
1 длина
в. длина2
г.
1 |
|
длина |
2 |
|
8. Состояние частицы описывается волновой функцией |
exp(ipx) 2 exp(2ipx) , |
где p - некоторое |
|||||
действительное число. При измерении импульса частицы |
|
|
|
|
|||
a. с единичной вероятностью будет получено значение p |
б. с единичной вероятностью будет |
||||||
получено значение |
p |
в. |
с вероятностью |
1/5 будет получено |
значение |
p , |
с |
вероятностью 4/5 – значение |
2 p |
г. с вероятностью 1/5 будет получено значение |
p , |
с |
|||
вероятностью 4/5 – значение |
2 p |
|
|
|
|
|
|
10.
pˆ |
x |
|
Какая из нижеперечисленных функций является общей собственной функцией операторов
?
xˆ
и
А. (x a) sin bx
существует (здесь
a, b
б. (x a) exp( ibx) |
в. (x |
- произвольные действительные числа)
a) exp(ibx)
г. такой функции не
11. Оператор координаты |
xˆ |
в импульсном представлении – это |
|
|
|||||||
а. |
i |
|
|
б. умножение на координату x |
в. умножение на импульс |
px , |
|||||
p |
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Оператор импульса |
|
ˆ |
в импульсном представлении – это |
|
|
||||||
|
px |
|
|
||||||||
а. |
i |
|
|
б. |
i |
|
|
в. умножение на импульс |
px , |
|
|
p |
|
p |
|
||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г.
г.
i |
|
|
p |
||
|
||
|
x |
i |
|
|
x |
||
|
13. Собственная функция |
fa ( p) оператора координаты, отвечающая собственному значению a , в |
||||||||
импульсном представлении равна |
|
|
|
|
|
||||
|
i |
pa |
б. p a |
|
pa |
|
pa |
||
а. exp |
|
|
в. cos |
|
|
г. exp i |
|
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Состояние частицы описывается волновой функцией (x, t) . По какой из нижеперечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в импульсном представлении C( p,t) ?
|
|
|
1 |
|
|
|
px |
|
А. C( p, t) ( p, t) |
б. C( p, t) |
|
|
|
(x, t) exp |
i |
|
dx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9
|
|
1 |
|
px |
|
|
|
1 |
|
px |
||
в. C( p, t) |
|
|
(x, t) sin |
|
dx |
г. C( p, t) |
|
|
(x, t) cos |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
15. Дана волновая функция в импульсном представлении |
C( p,t) |
некоторого состояния частицы. |
||||||||||
По какой из ниже перечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в координатном представлении (x, t) :
а.
(x, t) C(x,t)
б.
(x, t) |
1 |
|
px |
2 |
C( p, t) cos |
dp |
|
|
|
|
в.
(x, t) |
1 |
|
px |
2 |
C( p, t) exp i |
dp |
|
|
|
|
г.
(x, t) |
1 |
|
px |
2 |
C( p, t) sin |
dp |
|
|
|
|
10