вопросы к экзамену

Программа экзаменов по курсу «Релятивистская квантовая теория»

для групп Т7-32, 32а, 32б.

(на удовлетворительно)

1. Лагранжев формализм в теории поля: структура лагранжиана; уравнения поля, тензор энергии-импульса.

2. Скалярное релятивистское поле. Уравнение Клейна-Гордона для свободного поля. Решение с положительными и отрицательными частотами. Тензор энергии-импульса комплексного скалярного поля и его квантование. Частицы и античастицы. Коммутационные соотношения операторов поля.

3. Понятие группы. Компактные и некомпактные группы. Группы Ли и алгебры Ли. Алгебра Ли группы вращений и группы Лоренца.

4. Представления групп. Неприводимые и приводимые представления. Неприводимые представления группы вращений. Прямое произведение неприводимых представлений группы вращений и его разбиение на неприводимые. Коэффициенты Клебша – Гордона.

5. Конечномерные неприводимые представления группы Лоренца. Неэквивалентность представлений (j₁, j₂) и (j₂, j₁). «Спиновое содержание» неприводимых представлений группы Лоренца. Простейшие примеры: представления (0, 0), (1/2, 0), (0, 1/2), (1/2,1/2). Явный вид спинорных представлений группы Лоренца (1/2, 0), (0, 1/2) и группа SL(2,C).

6. Разложение прямого произведения неприводимых представлений группы Лоренца на неприводимые части.

7. Пространственные отражения и неприводимые представления полной группы Лоренца. Биспиноры Дирака.

8. Прямое произведение двух биспиноров Дирака и его разбиение на неприводимые величины. Матрицы Дирака и их свойства (коммутационные соотношения). Различные представления матриц Дирака, используемые в теории (представление Дирака, Вейля).

9. Релятивистское свободное спинорное поле. Лагранжиан, уравнение Дирака. Полная система решений уравнения Дирака. Связь решений с положительными и отрицательными частотами. Гамильтонова форма уравнения Дирака. Классификация спиновых состояний спинорной частицы.

10. Тензор энергии-импульса дираковского поля. Квантование поля по принципу запрета. Коммутационные соотношения операторов дираковского поля.

11. Квантование массивного векторного поля. Перестановочные соотношения для операторов векторного поля. Особенности квантования электромагнитного поля.

12. Калибровочные преобразования первого рода. Определение вектора плотности тока. Закон сохранения 4 - тока. Закон сохранения заряда. Операторы заряда для спинорных и скалярных полей.

13. Взаимодействие заряженного дираковского поля с внешним электромагнитным полем. Нерелятивистское приближение первого порядка. Собственный магнитный момент частицы со спином ½.

Программа экзаменов по курсу «Релятивистская квантовая теория»

для групп Т7-32, 32а, 32б.

1. Лагранжев формализм в теории поля: структура лагранжиана; уравнения поля, тензор энергии-импульса.

2. Скалярное релятивистское поле. Уравнение Клейна-Гордона для свободного поля. Решение с положительными и отрицательными частотами. Переходы между состояниями с разными знаками частот под действием внешнего электромагнитоного поля. Тензор энергии-импульса комплексного скалярного поля и его квантование. Частицы и античастицы. Коммутационные соотношения операторов поля.

3. Понятие группы. Групповые постулаты и принцип относительности.

4. Примеры непрерывных групп, используемых в нерелятивистской квантовой теории. Компактные и некомпактные группы. Группы Ли и алгебры Ли. Алгебра Ли группы вращений и группы Лоренца.

5. Представление групп. Неприводимые и приводимые представления. Неприводимые представления группы вращений. Прямое произведение неприводимых представлений группы вращений и его разбиение на неприводимые. Коэффициенты Клебша-Гордона. Матрица зарядового сопряжения группы вращений.

6. Конечномерные неприводимые представления группы Лоренца. Неэквивалентность представлений (j₁, j₂) и (j₂, j₁). «Спиновое содержание» неприводимых представлений группы Лоренца. Простейшие примеры: представления (0, 0), (1/2, 0), (0, 1/2), (1/2,1/2). Явный вид спинорных представлений группы Лоренца (1/2, 0), (0, 1/2) и группа SL(2,C).

7. Разложение прямого произведения неприводимых представлений группы Лоренца на неприводимые части.

8. Пространственные отражения и неприводимые представления полной группы Лоренца. Биспиноры Дирака.

9. Прямое произведение двух биспиноров Дирака и его разбиение на неприводимые величины. Матрицы Дирака и их свойства (коммутационные соотношения, следы произведений). Различные представления матриц Дирака, используемые в теории (представления Дирака, Вейля и др.)

10. Свободное релятивистское спинорное поле Дирака. Лагранжиан, уравнение Дирака. Полная система решений уравнения Дирака. Связь решений с положительными и отрицательными частотами. Гамильтонова форма уравнений Дирака. Классификация спиновых состояний релятивистской частицы.

11. Тензор энергии-импульса дираковского поля. Квантование поля по принципу запрета. Коммутационные соотношения операторов дираковского поля.

12. Квантование массивного векторного поля. Перестановочные соотношения для операторов векторного поля. Особенности квантования электромагнитного поля.

13. Связь спина со статистикой как следствие релятивистской инвариантности и требования положительной определённости энергии.

14. Калибровочное преобразование первого рода. Определение вектора плотности тока. Закон сохранения 4 – тока. Закон сохранения заряда. Операторы заряда для спинорного и скалярного поля.

15. Операция зарядового сопряжения. Преобразование операторов скалярного и спинорного поля при зарядовом сопряжении. Зарядовая чётность нейтрального поля. Преобразование 4-х потенциала электромагнитного поля при зарядовом сопряжении.

16. Пространственные отражения. Преобразование операторов поля при пространственных отражениях.

17. Обращение времени. «Антиунитарный» закон преобразования. Преобразование операторов при обращении времени. Преобразование операторов скалярного, дираковского и векторного поля при обращении времени. CPT-теорема.

18. Взаимодействие заряженного дираковского поля с внешним электромагнитным полем. Нерелятивистское приближение первого порядка. Собственный магнитный момент заряженной частицы со спином ½. Нерелятивистское приближение второго порядка в решении уравнения Дирака с внешним электромагнитным полем. Спин-орбитальное взаимодействие, поправка Томаса и её физический смысл.

19. Решение уравнения Дирака с внешним центрально-симметричным полем. Отделение угловых переменных. Волновая функция частицы со спином и с определённым полным угловым моментом. Шаровые спиноры.

20. Кулоновская задача для уравнения Дирака. Поведение радиальных волновых функций на малых и асимптотически больших расстояниях, энергетический спектр водородоподобных атомов и его отличительные особенности (эффект тонкой структуры, вырожденность термов по полному моменту при данном главном квантовом числе).