Топологические методы в физике / Задачи

Топологические методы в физике. Домашнее задание (2009)

К экзамену допускаются только предварительно сдавшие решения домашнего задания. Подсказки можно найти в пособии "Топологические методы в теории поля".

положений равновесия такой системы?

3.Постройте универсальное накрытие над букетом S1 _ RP 2 и укажите группу монодромии накрытия.

4.Найдите фундаментальную группу: a) ¼1(S1 _ T 2) , б) пространства, полученного вырезанием из трехмерной сферы S3 двух окружностей, один раз зацепленных друг за друга.

5.Рассмотрим замкнутую ориентированную двумерную поверхность M . Вблизи каждой своей точки Q поверхность M локально задается уравнением z = f(x; y) , где ось z ориентирована в направлении внешней нормали n к поверхности в точке Q . Величина

К чему сводится формула (*) в случае сферы? Изобразите области положительной и отрицательной гауссовой кривизны на торе и на кренделе с двумя дырками.

УКАЗАНИЕ: Пусть u , v – параметры (локальные координаты) на поверхности, n(u; v) – поле единичной внешней нормали. Тогда имеем:

6.Рассмотрим скалярный триплет Á и калибровочное поле с асимптотикой (латинские индексы принимают значения 1, 2, 3)

Определим магнитное поле соотношением Hi = (1=2)²ijkBjk (по повторяющимся индексам производится суммирование), где

Для случая Á = ar=r , Ai = 0 найти асимптотику Bij и Hi на пространственной бесконечности.

1

R

7. Проварьировав действие SGG = d4xLGG модели Джорджи-Глэшоу, LGG = ¡14 F2¹º + 12 (r¹Á)2 ¡ V (Á) , по полям A¹ и Á , найдите классические уравнения поля для этой модели.

8. Уравнения Богомольного-Прасада-Зоммерфельда для модели Полякова-т’Хофта имеют вид:

совских полей, Ai = fA1i ; A2i ; A3i g - SO(3) -калибровочное поле, riÁ = @iÁ+ gAi £Á - ковариантная производная скалярного изотриплета, Fjk = @jAk ¡@kAj +gAj £Ak - тензор напряженностей калибровочного поля, ²ijk - абсолютно антисимметричный тензор, индексы принимают значения 1, 2, 3, а по повторяющимся индексам производится суммирование.

Подставить в уравнения (1) "ежовый"анзац

где r2 = x21 +x22 +x23 , H и K - неизвестные функции одной переменной. Получить уравнения для функций H и K и решить их с граничными условиями K(0) = 1 , K(1) = 0 , lim»!1 H(»)=» =

1.

9.Доказать тождество Якоби ²¹º¸·rºF¸· = 0 (обозначения - те же, что в задачах 6,7,8). Для трех-

мерного пространства-времени, обоснуйте калибровочную инвариантность Черн-Саймановского действия SCS = const ¢ R d3x²¹º¸A¹ ¢ Fº¸

10.Пусть n – единичный вектор в трехмерном пространстве. Координаты точки пересечения прямой, проходящей через концы векторов ^z (единичный орт оси z ) и n , приложенных к началу координат, с плоскостью xy называются стереографическими координатами единичного вектора n . Показать, что декартовы координаты единичного вектора выражаются через стереографические координаты !1 , !2 по формулам

½2!1 ; 2!2 ; 1 ¡ !2 ¾; (2)

1 + !2 1 + !2 1 + !2

где !2 = !12 + !22 .

11. Рассмотрим трехмерное векторное поле n(x1; x2) на плоскости, удовлетворяющее уравнениям

где индексы i; j принимают значения 1; 2 , ²ij = ¡²ji , ²12 = 1 – двумерный абсолютно антисимметричный тензор, и по повторяющимся индексам производится суммирование.

(a)Покажите, что из (3) следует, что n2 = 1 ;

(b)Покажите, что любое решение уравнения (3) автоматически удовлетворяет уравнению M n = ¡(@in)2 n , где M – двумерный лапласиан;

(c)Показать, что после подстановки (2) уравнения (3) принимают вид

( ¾ - вещественный параметр, Q - целое число) найти явно компоненты поля (2) и изобразить поле n(x1; x2) графически при Q = §1 и Q = §2 .

2