Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

2 семестр Лекции Гришин / Matan_lektsia_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

272.9 Кб

Скачать

☆

Ф-02-Лекция-14. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

1. Производные и дифференциалы высших Частная производная функции u f (x1 , x2 ,...,

порядков.

xn ) по переменной

x	i

произвольной точке

x x1 , x2 ,..., xn в свою очередь является функцией n переменных и ее дифференцирование может быть продолжено.

ОПР. Частной производной функции u f (x1 , x2 ,..., xn ) порядка k в точке

x x1 , x2 ,..., xn называют результат последовательного дифференцирования:

n 1

, где k k1 k2

... kn .

x ...

...

n 1

Следующая теорема устанавливает условия независимости частной

производной от порядка дифференцирования.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции u x

Решение. u e

ln x

ln x e

z ln y

Производные первого порядка

z ln y

ln x e

z ln y

u z y

z 1

ln x,

u y

ln y ln x ,

, uy

Производные второго порядка

2 z 1

z 1

uxx

u z

x z(z 1) ln x y

z 1

ln x uz ln x(z 1) y

2 z 2

z 2

ln x ln y u y

ln x ln

y u y

x ln

y u y

ln x ln

u y

2 z

u yz ln2

yz ln x

y ln x

xyz 1

zyz 1

yz ln x 1

2 z

ln y u

ln x ln y u

ln y u

ln y

yz ln y 1

uzy

ln x

u zy

ln x u ln x y

z(z 1) y

ln y

z 1

u yz 1 ln x

z2 yz 1 ln x

z(z 1) ln y 1

ТЕОРЕМА 1. Пусть для функции

z f (x, y) существуют и непрерывны

в некоторой окрестности точки x; y

смешанные производные f xy

и f yx

открытого множества D R2 .

Тогда

= f yx .

ДОК. Если задана функция z f (x, y) , то ее приращением по переменной x называют выражение x,h f f (x h; y) f (x; y) . Аналогично, приращением по переменной y будет y,h f f (x; y h) f (x; y) . Тогда

x,h y,h f x,h f (x; y h f (x; y))

f (x h; y h) f (x; y h) f (x h; y) f (x; y) y,h x,h f . Применяя теорему о

среднем для производных в некоторой окрестности точки x; y , получим

	x,h		y,h	f		x,h	(h f (x; y h)) h ( f (x h; y h) f (x; y h))
	x,h		y,h			x,h	y	y	y

f yx (x

1 h; y h) . Из непрерывности, смешанной производной f yx

x; y

x,h y,h f

точке

следует, что f yx

lim

. Аналогично доказывается, что

h 0

y,h x,h

и поскольку числители дробей равны, то

lim

f xy

xy =

yx .

h 0

Поскольку дифференциал функции в произвольной точке x x1 , x2 ,..., xn

также является функцией n переменных, возможно повторное

дифференцирование.

ОПР. Дифференциалом порядка k функции u f (x1 , x2 ,..., xn )

в точке

x x1 , x2

,..., xn называют выражение

d d... d df .

Связь второго дифференциала с частными производными второго порядка определяется формулой

d	2	f	f dx	2	2 f dxdy	f dy	2
	2			2			2
			xx		xy	yy

Здесь частные производные вычисляются в некоторой точке x; y , Второй

дифференциал является квадратичной формой переменных x				и y .
ДОК.
d	2	f
d		f	d df d f x dx f y dy dx f xx dx f xy dy dy f yx dx f yy dy .

В предположении непрерывности смешанных производных смешанные производные

					2
f xy	= f yx , поэтому d	2	f	f xx dx		2 f xy dxdy f yy	dy

Для удобства записи дифференциалов порядка форму:

2	.

k

используют операторную

...

Например, третий дифференциал функции двух переменных по этой формуле имеет вид:

f xxx dx

3 f xxy dx

dy 3 f xyy dx dy

f yyy dy .

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что форма второго дифференциала не является инвариантной.

Если z f (u	,u	)	функция переменных u и		u	2	, которые в свою очередь
1	2			1
являются функциями u1 u1 (x, y) и u2				u2 (x, y) переменных x и y, то
dz fu du1 fu du			2
1	2

d	2	z
			( x, y )

f		du
			2
u u		1
1	1

du d ( f )		f
1	u	u
	1	1

2 f		du du	2
u u	2	1	2
1	2

u	1		du

f				du
u		u		2
	2

d ( fu2

	2
	2

) f

f			d
				2
	u
d		12
d	2	u
	2
u			1
1

u	2
	2
f			d	2	u
f			d		u	2
	u					2
		12

d	2	z
	2
			(u	,u	)
			1	2

f d	2	u
	2
u			1
1

f	d
u
12

2	u
	u	2
		2

Инвариантность формы второго дифференциала наступает только в случае,

если d				2		u1	0 и d						2	u2	0			, т.е. если u1 и u						2 линейные функции.
				2									2
Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции u																																					z		.
Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции u																																		x	2	y		2	.
																																		x		y

Решение.
du					dz				2					z				xdx ydy
du		x	2			y		2	2	(x			2		2	)	2	xdx ydy
		x				y				(x				y		)
d	u								4			xdx ydy dz									4z			xdx ydy	2			2z			dx	2	dy				2
2																																2					2
						(x	2		2	)	2								(x	2	2	)	2			(x	2	2	)	2
						(x		y		)									(x		y	)				(x		y	)

2. Формула Тейлора.
ТЕОРЕМА 2. Если функция	u f (x1 , x2 ,..., xn ) имеет непрерывные частные
производные до порядка m 1	в окрестностиU (x		) точки x	0	x1	, x2	,..., xn , то
		0		0	0	0	0

существует точка
U (x					0	)	, для которой
					0
				f (x				, x		2	,..., x		n	) f
							1			2			n
df			1	d		2	f				...	1		d	m	f
						2									m
	x	0						x	0
		0	2!						0			m!

x		0	,
	1
x	0

0	0	+
x2	,..., xn	+
	1	d	m 1	f
			m 1
(m 1)!					x
					x

ДОК. Рассмотрим функцию одной переменной t:

где x U (x		F(t) f (x0 t(x x0 )) ,
где x U (x	0	) фиксировано. В условиях теоремы функция F(t) имеет (

непрерывную производную по переменной t 0;1 и к ней применима формула Маклорена, записанная в дифференциальной форме:

)

где

F(t)

0;1

F (0) dF

...

m 1

t 0

(m 1)!

Вычислим входящие в нее дифференциалы:

dF t 0

f dui

t f

xi xi0 df x x0 t .

i 1

Аналогично, d 2 F

t 0

d 2 f

x x

( t)2 и d m F t 0 d m f

x x

0 ( t)m . Наконец, при

x0 (x x0 ) , получим d m 1 F t d m 1 f

x ( t)m 1 . Полагаем в формуле

t t 0 t 1, с учетом, что F(1)

f (x)

и F(0) f (x0 ) , получим исходную

формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Заметим, что (x0 , x) xi

для любого i 1,2,..., n . В предположении

непрерывности частных производных до порядка m 1 следует их

ограниченность и функция

d	m 1	f		o(	m	(x	0	, x))
d		f	x	o(		(x		, x))
			x

d	m 1		f
					x

	m	(x		0	, x)

, если

(x	0	, x)
	0

, т.е.

Формула

f (x1 , x2 ,..., xn ) f x10 , x20 ,..., xn0 + df x0 21! d 2 f x0 ... m1! d m f x0

o(	m	(x	0	, x))

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Многочлен

Tm ( f )

+ df

0 ...

f x1

, x2 ,..., xn

переменных x1 , x2

,..., xn степени m называется многочленом Тейлора функции

f (x1 , x2 ,..., xn ) в точке x

, x2

,..., xn

Пример 3. Написать многочлен Тейлора степени 2 функции z sin

в точке

(1,1).

Решение.

f (1,1)

	x
f (1,1) cos
x		y
	y	y

(1;1)

	x	x
f (1,1) cos			2	(1;1)
y			2	(1;1)
	y	y

(1;1)

(x 1) ( y

f		x
f	(1;1) sin
x,x			y
		y	y

2
2	(1;1)

f	(1;1)				x
f	(1;1)		2	cos
xy		y	2
		y			y

2 x

sin

(1;1) ,

cos

sin

(1;1)

2 ,

f yy (1;1)

(1;1) 2 (x 1)( y 1) 2 ( y 1)

. Тогда

T (x 1) ( y 1) 2 (x 1)(y 1) 2 ( y 1)2 .

3. Экстремумы функций.

; x2 ,..., xn

локальный

Опр. Функция u f (x1

, x2 ,..., xn ) имеет в точке x

максимум (минимум), если существует выколотая окрестностьU (x

)

, для

всех точек x которой выполняется неравенство f (x) f (x

)

( f (x) f (x

) )

(строгий экстремум).

Теорема 3. (Необходимое условие экстремума)

Пусть функция f (x1 , x

2 ,..., xn ) имеет в точке x0

x10 ; x20 ,..., xn0 экстремум

(максимум или минимум). Тогда любая частная производная fx , i 1, 2,..., n

точке x0

либо равна нулю, либо не существует.

Док. Каждая функция (x ) f (x0 , x0 ,..., x , x0

,..., x0 )

одной переменной x

i 1

i 1, 2,..., n

в точке x0 имеет экстремум, поэтому ее производная, равная

частной производной функции f

по переменной xi , равна нулю или не

существует (теорема о необходимом условии экстремума функции одной переменной).

Точка x	0		, в которой все частные функции f (x) равны нулю, называется

стационарной.
Точки x		0	, в которой частные производные функции равны нулю или не

существуют, называются критическими точками функции.

На основании теоремы 3 все точки экстремума функции находятся среди

множества ее критических точек.		(8x		6xy 3y	) .
Пример 4. Найти критические точки функции z e	2x 3 y		2
				2

Решение.

Функция имеет частные производные во всех точках плоскости, поэтому все ее критические точки стационарные.

	e2 x 3 y
z	e2 x 3 y		16x2		12xy 6 y2 16x 6 y			0
x
z	e	2 x 3 y	24x	2	18xy 9 y	2	6x 6 y 0
z	e		24x		18xy 9 y		6x 6 y 0
y

Приходим к системе для определения стационарных точек:

8x	2	6xy 3y	2	8x 3y

		6xy 3y2 2x 2 y
8x2

Исключая переменную

	y 2x	x 0		,	x
			y 0			y
8x2 2x 0

0 0

y 2x

8x2 6xy 3y2 2x 2 y 0

из второго уравнения, получим

1/ 41/ 2

ТЕОРЕМА 4. (Достаточные Пусть функция f (x1 , x2 ,..., xn )

условия экстремума)

имеет непрерывные частные производные до

порядка 2										)
в окрестностиU (x									0	)
									0
1)	x	0		x			0
	f (x		)	f		(x		) ...
	1				2

f	(x	0	)
f	(x		)
x
n

2) квадратичная форма

D2 ( x) aij xi x j с матрицей

i, j 1

A aij ,

			2		f
			2
a	ij	x		x
	ij
						j
		i				j

x x	0

знакоопределенная.

Тогда у функции		f (x1 , x2 ,..., xn ) в точке x x	0	экстремум типа максимум, если
			0
D	( x) 0
2

и минимум, если D2 ( x) 0 .

ДОК. Разложим функцию по формуле Тейлора до членов второго порядков:

	f D ( x) o( 2 (x0		, x)) ,
		2
Поскольку D2 ( x) d 2 f	x x	0 , ее знак определяет знак приращения функции в
окрестности точки x0 при достаточно малых			x0 , x .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если квадратичная форма D2 ( x) знаконеопределеная в окрестности

U (x	0	) стационарной точки, то функция не имеет экстремума в этой точке.

В курсе алгебры устанавливается критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА.

Обозначим через i главный минор матрицы А порядка i форма D2 ( x)

. Квадратичная

положительно определена, если все ее главные миноры положительны.

Квадратичная форма D2 ( x)	отрицательно определена, если знаки ее главные
миноры чередуются, начиная с		1	a	0 , т.е.	2	0 , …, 1 n		n	0
		1	11		2			n
В остальных случаях, при i	0 квадратичная форма знаконеопределеная.
ПРАВИЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ на экстремум.
								i 1, 2,..., n
1) Найти стационарные точки функции, решая систему f x							0,	i 1, 2,..., n
							i

алгебраических уравнений.

2) Вычислить все значения вторых частных производных в стационарных точках и составить матрицу второго дифференциала D2 ( x) .

3) Применить критерий Сильвестра и определить тип экстремальной точки. ЗАМЕЧАНИЕ. Если у функции есть точки, в которых частные производные первого порядка не существуют, то нет и вторых производных, а также квадратичной формы. Поведение функции в этих точках должно быть исследовано особо. Следует отметить также, что условия теоремы 3

достаточные для экстремума и невыполнение их еще не говорит о том, что у

функции в данной точке нет экстремума.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию из примера 4.

Решение.

Вычислим вторые производные функции:

2 x 3 y

6xy

16x 6 y 4

6e2 x 3 y

8x2

3y2

6xy

6x y 1

24x

18xy 9 y

12x 12 y 2

2 x 3 y

Матрица второго дифференциала в точке

0; 0

, главные миноры

16 0, 2 60 0

, в точке

локальный минимум.

Матрица второго дифференциала в точке ( 1/ 4;1/ 2)

, главные

51e

миноры

	4e 0,		240e
			2
1		2

экстремума нет.

, квадратичная форма знаконеопределеная,

Пример 6. Функция

f (x, y) x	3	y	2

имеет (0,0) единственной стационарной

точкой, матрицу квадратичной формы

0
A
	0

, для которой 1 2 0 .

Квадратичная форма

D2 ( x) y2 0 знакоположительной не является. Однако, по определению, функция не имеет экстремума в точке (0;0), поскольку f x3 y2 меняет знак

								~	3	0 , для
в любой окрестности точки (0;0), например, для x ( ;0) f										0 , для

~		0
x ;0 f	3	0
	3
Пример 7. Функция f (x, y) x			4	y	2	также имеет (0;0) единственной своей
			4		2
						0	0	квадратичной формы.
стационарной точкой и ту же матрицу A								квадратичной формы.

						0	1

Однако, в точке (0;0) имеет минимум. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

2)Дифференциалы высших порядков. Выражение дифференциалов через частные производные. Неинвариантность формы второго дифференциала.

3)Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано.

4)Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума.

5)Экстремум функции нескольких переменных. Достаточные условия экстремума.

Критерий Сильвестра.

Соседние файлы в папке 2 семестр Лекции Гришин

#
11.06.2024395.01 Кб0F-02-Lektsia_5.pdf
#
11.06.2024195.35 Кб0F-02-Lektsia_6.pdf
#
11.06.2024182.28 Кб0F-02-Lektsia_7.pdf
#
11.06.2024380.54 Кб0F-02-Lektsia_8.pdf
#
11.06.2024350.33 Кб0F-02-Lektsia_9.pdf
#
11.06.2024272.9 Кб0Matan_lektsia_14.pdf
#
11.06.2024426.34 Кб0Matan_lektsia_15.pdf