Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

381.14 Кб

Скачать

☆

Ф-02-Лекция 13. Дифференцируемость функции нескольких переменных. 1.Частные производные.

ОПР. Частной производной функции u f (x) f (x1, x2							,..., xn ) по переменной
a a1 , a2 ,..., an R			n	называют производную функции			(xi ) f (a1 ,a2 ,..ai 1, xi

по переменной xi :
	f			f lim		f (a1 ,..,ai 1 , ai xi ,..,an ) f (a1 , a2 ,..,ai ,..,an )		.
		x a
				x		xi
	xi			i	xi 0

x	i

,ai

в точке

1	,..,a	n	)

ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

Для нахождения частной производной по какой – либо переменной необходимо совершать привычные действия дифференцирования по этой переменной, полагая остальные переменные постоянными.

Пример 1. Найти частные производные по переменным x

и y

функции

в произвольной точке (x, y) (0,0) .

РЕШЕНИЕ.

3 / 2 .

f x y

f y

f (x, y)		xy
	x	2	y	2

Существование частных производных у функции в какой – то точке еще не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке.

Пример 2 разрывной функции в точке, но имеющей в ней частные производные.

	1, если x y 0,
Функция	f (x, y)	разрывная в точке (0,0)	, хотя имеет в этой точке
	0, если x y 0

частные производные по обоим переменным (равные нулю).

В дальнейшем для краткости записи, если не оговорено противное, рассматриваются функции двух переменных.

ОПР. Функция u f (x, y)

называется дифференцируемой в точке x0 , y0

, если ее

приращение f

f (x0

x, y0

y) f (x0 , y0 ) можно представить в виде

A x B y o( x

)

где А и В – константы, o(

) - бесконечно малая более высокого порядка, чем

x2 y 2

, т.е. lim

x2 y2 )

y 0

x 0

Функции o(

) можно придать вид o(

) ( x, y) x

( x, y) y

где ( x, y) и ( x, y) бесконечно малые функции в точке (0,0). Действительно,

o( x2 y 2 ) ( x, y) x2 y 2 ( x, y) ( 1 ( x, y) x 1 ( x, y) y) ,

где ( x,

1 ( x, y


		x	2	y	2
			2		2
						,если x
y) - бесконечно малая функция, 1			x			,если x
y) - бесконечно малая функция, 1	( x, y)		x
				0, если x y


	x	2	y	2
		2		2
					,если x y ,
						- ограниченные функции, 1	2 ,
		y
)		y
			0, если x y
			0, если x y

1 2 .

Тогда ( x, y) ( x, y) 1 ( x, y) и ( x, y) ( x, y) 1 ( x, y) - бесконечно малые функции (0,0) и определение дифференцируемости может быть таким:

Функция u f (x, y) называется дифференцируемой в точке x0 , y0									, если ее приращение
f	f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) можно представить в виде
f	A x B y ( x, y) x ( x, y) y				, где А и В – константы, ( x, y)
( x, y) - бесконечно малые функции (0,0).
Упражнение. Доказать, что дифференцируемая функция в точке x0									, y0 непрерывна в этой
точке.
ТЕОРЕМА 1. (Необходимое условие дифференцируемости)
Если функция u f (x, y) дифференцируема в точке x0 , y0 , то она имеет частные
производные в этой точке и А=		f		, В=	f			.
производные в этой точке и А=		x ( x		, В=	y			.
		x ( x	, y	)	y	( x	, y	)
		0	0			( x	, y	)
						0	0

ДОК. При y 0			(переменная y постоянная) отношение
при x 0		равный		f		A . При x 0 (переменная
при x 0		равный		x ( x		A . При x 0 (переменная
				x ( x	, y	)
				0	0
f	B (0, y) имеет предел при y 0						равный	f
y	B (0, y) имеет предел при y 0						равный	y
y								y	( x	,
									0

f	A	( x,0)	имеет предел
	A	( x,0)	имеет предел
x
x постоянная) отношение
	B .
y )
0

ТЕОРЕМА 2. (Достаточные условия дифференцируемости)

Если функция u f (x, y)

имеет частные производные в некоторой окрестностиU (x0 , y0 ) ,

непрерывные в точке

x0 , y0 ,

то функция u f (x, y) дифференцируема в точке x0

, y0 .

ДОК. Представим приращение функции в виде f f (x0

x, y0 y) f (x0 , y0 y)

f (x0 , y0

y) f (x0 , y0 ) . По теореме о среднем для производной (Лагранжа) по каждой

переменной f (x0 x, y0

y) f (x0

, y0

y) fx (x0 1 x, y0 y) x и

f (x0

, y0 y) f (x0 , y0 )

(x0

, y0

y) y , числа 1, 2 0;1 . Из непрерывности

f y

частных производных в точке

, y0

следует, что при достаточно малых x и y :

1 x, y0 y)

(x0 , y0 )

fx (x0

f x

( x, y) и f y (x0 , y0

2 y) f y (x0 , y0 ) ( x, y) .

Объединяя выражения, получим

(

f (x

, y

) ( x, y) ) x ( f (x

, y

) ( x, y) ) y =

f (x

, y

)

x f

, y

) y +

( x, y)

x ( x, y) y , т.е. функция

дифференцируема.

2. Частные производные сложных функций.

Теорема 3 (производная сложной функции)

Если функция z f (x, y)

дифференцируемая в точке x0 , y0

, а x и y являются в свою

очередь дифференцируемыми функциями переменных u и v

x x(u,v) , y y(u,v)

в точке

,v )

, причем x

x(u

,v ) ,

y(u

) , то сложная функция

z f (u,v) f (x(u,v), y(u,v)) также дифференцируемая и

zu f x xu f y yu ,

zv f x xv f y yv

где производные вычисляются в соответствующих точках x0 , y0 и (u0 ,v0 ) .

		y ( x, y) x ( x, y) y
ДОК. z f x x f y

( fx

( x, y)) xu u xv v 1 ( u, v) u 2 ( u, v v) +

( f

( x, y)) y u y

( u, v) u

( u, v v) ( f x

f y ) u

( f x

f y

yv ) v ( x, y, u, v) u ( x, y, u, v) v , где функции

являются бесконечно малыми при u 0

и v 0 . Тогда, по определению, сложная

функция z f (u,v) дифференцируема и ее частные производные равны коэффициентам

при линейных по u

и v членах представления приращения z .

Пример 3. Введя новые переменные

y	2

, решить дифференциальное

уравнение y	z	x	z	0	, т.е. найти функцию
	x		y

уравнение оно обратится в верное тождество. РЕШЕНИЕ.

z(x,

, при подстановке которой в

Тогда

z x z x

y	z	x	z
	x		y

z	z

yz	2

2x xyz

z	z		z
y		y		y

2xyz	y z	0

2 y z

и решением является z ( ) (x																									2	y					2	) , где ( ) - произвольная дифференцируемая
и решением является z ( ) (x																										y						) , где ( ) - произвольная дифференцируемая
функция переменной .
Пример 4 Доказать, что функция u																										1		, где r													(x a)						2	( y b)			2	(z c)				2	удовлетворяет
																																															2				2					2
																										r
																u						u				r			u
																u						u							u
														2							2						2
уравнению Лапласа u														x			2		y				2			z				2		0 .
														x					y							z

Решение.
		1					1			(x a)								x a																	x a											1			(x a)				2	1
u		1		r			1			(x a)								x a							,	u				3					x a						r					1		3	(x a)					1
u			2	r				2												3					,	u				3								4			r						3	3		5					3
x		r	2	x			r	2			r								r	3							x										r	4					x			r	3		r	5				r	3
		r					r				r								r																		r									r			r					r
Аналогичные производные функции u по переменным y и z :
												( y b)						2					1													(z c)							2			1
											3	( y b)											1									3				(z c)										1
															5									3																5							3 .
									uy					r	5						r			3		и uz													r	5						r	3 .
														r							r																		r							r
Складывая полученные производные, получим
u	3		(x		a)	2	( y b)						2	(z				c)				2				3							3				r		2			3			0
u			(x		a)		( y b)							(z				c)																			r								0

	r	5																								r		3					r	5								r		3
	r																									r							r									r
Пример 5. Доказать, что функция z y f (x2																																					y2 ) , где f ( ) - произвольная

дифференцируемая функция одной переменной, удовлетворяет уравнению

			y	2	z
				2
					x
Решение.
z	y f		2xyf			,
x		x

xyz

xz .

f (x2 y2 ) 2 y2 f .

Тогда	y	2	z	xyz 2xy	3	f xyf 2xy	3	f xz		.

			x	y
3. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
ОПР. Полным дифференциалом функции									z f (x, y) называется главная, линейная часть

приращения функции:

dz A x B y .

Если функция дифференцируема в точке x0 , y0 , то по теореме 1 константы

А и В – значения частных производных функции в точке x0 , y0 . Если переменную x рассматривать как линейную функцию, то x dx . По аналогии, y dy

Тогда полный дифференциал функции примет форму

dz df
		f x dx f y dy .

Эта форма записи дифференциала сохраняется, если x и y являются не независимыми переменными, а функциями переменных u и v . Действительно, по теореме 3

dz z du z dv ( f x					f	y )du ( f x			f y )dv
		u	v	x u	y	u	x	v	y v

f x	(xu du xv dv) f y			( yu du yv dv)			f x dx f y dy .

Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала.

Если в формуле для приращения функции пренебречь слагаемыми более высокого порядка малости, чем x и y , то можно получить приближенную формулу для вычисления значения функции:

f (x, y) f (x	0	, y	0	) f (x	0	, y	0	)(x
	0		0	x	0		0

Пример 6. Вычислить приближенно значение

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию z e	x ln(1 y)	.

	(x0	, y0 )( y y0 ) .
x0 ) f y	(x0	, y0 )( y y0 ) .
1,05
0,97 .
	1,05		есть значение функции при
Тогда 0,97			есть значение функции при

x 1,05

и y

0,03. Выбираем x0

и y0

. Частные производные

x ln(1 y )

ln(1

y) (1;0)

z y

(1;0) 1.

1,05	1 0 0.05 1 0,03 0,97 .
Тогда по приближенной формуле 0,97

Полный дифференциал используют для вычисления линейной ошибки при измерениях. Если вычисления производятся по формуле z f (x, y) , гдеx и y величины, полученные в

результате измерения с ошибками x и y соответственно, то величина z		является
ошибкой вычисления по неточным данным. Линейным приближением для		z является

дифференциал dz f x dx f y dy , который называется линейной ошибкой.
Пример 7. Длина x, ширина y и высота z прямоугольного параллелепипеда оказались
равными x 2 , y 4 ,	z 3 (в метрах). Ошибка прибора для вычисления длины и ширины

составляет x y 0,01

м., а высоты z 0,05

м. Какова линейная ошибка вычисления

объема параллелепипеда по формулеV xyz . РЕШЕНИЕ.

	yz	(2;4;3) 12		xz	(2;4;3) 6
Vx			, Vy

dV (12 6) 0,01 8 0,05 0,58

,		xy	(2;4;3) 8
	Vz

м3.

Тогда линейная ошибка

Действие дифференциала на арифметические операции над функциями аналогичны действию дифференциалов на функции одной переменной.

					f	gdf fdg
1) d( f g) df dg , 2) d( f g) g df f dg , 3) d							2
						g	2
				g		g
4. Производная неявной функции.
ОПР. Уравнение f (x, y) 0 задает функцию y (x) одной переменной на отрезке								a;b

неявно, если точка (x, (x)) D f	для всех x a;b			и f (x, (x)) 0 x a,b .
ФОРМУЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ неявной функции одной переменной.
Если уравнение f (x, y) 0 задает неявную функцию y (x) , y0							(x0 ) . Функция
f (x, y) дифференцируема в точке x0 , y0 , причем				f y (x0 , y0 ) 0 , то
(x	)	f x (x0 , y0 )	.
(x	)		.
0		f y (x0 , y0 )
		f y (x0 , y0 )

ДОК.

, y

)

f (x, (x) f x

1 f y (x) 0

(x0 )

, y

)

ОПР. Уравнение f (x, y, z) 0

задает функцию z (x, y) двух переменных в области

D R

неявно, если точка x, y, (x, y) D f R

для все (x, y) D

и справедливо

тождество

f (x, y, (x, y)) 0 x, y D .

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ неявной функции.

Если уравнение f (x, y, z) 0

задает функцию z (x, y) в области

неявно,

z0 (x0

, y0 ) , функция f (x, y, z)

дифференцируема в точке x0

, y0

, z0

, причем

, y0 , z0 ) 0 , то

fz (x0

f (x

, y

, z

)

f (x

, y

, z

)

(x0 , y0 )

f (x

, y

, z

)

f (x

, y

, z

)

ДОК.

f (x, y, (x, y)) f

1 f

x, y D

, y

)

f x (x0 , y0 , z0 )

f z (x0

, y0

, z0 )

f (x

, y

, z

)

x, y D

f (x, y, (x, y))

f y

1 f z

y (x0

, y0 )

, y

, z

)

Пример 8. Найти производную функции одной переменной, заданной неявно уравнением

Решение.

y ln x x ln y

0 y ln x

ln y

y 0 y

ln y y / x

ln x x / y

5. Производная по направлению, градиент функции.

Рассмотрим приращение функции z f (x, y)

в направлении единичного вектора

cos ,sin :

z f (x0

t cos , y0

t sin ) f (x0 , y0 ) .

ОПР. Производной функции z f (x, y) в точке x0 , y0

в направлении вектора e называют

lim

число

t 0

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ по направлению.

Если функция z f (x, y)

дифференцируема в точке x0

, y0 , то

, y

) cos f

, y

) sin .

lim

( f cos f sin ) t (t) t

ДОК.

f x (x0 , y0 ) cos f y (x0 , y0 ) sin .

t 0

ОПР. Вектор gradf ( x

, y

) f x (x0 , y0 );

f y (x0 , y0 ) , компоненты которого равны частным

производным функции f (x, y) , называется градиентом функции в точке x0 , y0 .

Тогда производная по направлению равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор направления fe (gradf ( x0 , y0 ) , e) . Из этого представления производной

по направлению следует, что градиент указывает направление, в котором функция быстрее всего растет и gradf указывает наибольшее значение производной.

	x x(t),
Если уравнение f (x, y, z) 0
Если уравнение f (x, y, z) 0	задает поверхность в пространстве и y y(t),
	z z t

дифференцируемая кривая на этой поверхности: f (x(t), y(t).z(t)) 0 для t t0 ;T

, то

d dt

f (x(t), y(t).z(t))

f x f y
x	t	y	t

f z
z	t

gradf

, x

, где

x x ; y , z
t	t	t

- касательный

вектор к кривой. Таким образом, вектор градиента функции

f (x, y, z)

в точке

(x	, y	0	, z	0	)
0		0		0

перпендикулярен касательному вектору к любой кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, вектор градиента является нормальным вектором к касательной плоскости

к поверхности	f (x, y, z) 0 в точке (x0 , y0 , z0 ) .
УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ.
f (x , y		, z	)(x x			)	f (x		, y		, z			)( y y			) f (x
x 0	0	0			0		y	0		0			0			0		z		0
УРАВНЕНИЕ НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ.
		(x x			)			( y y					)				(z z		)
				0							0							0
				0							0							0
	f (x			, y	, z	)	f	(x		, y		, z			)	f (x		, y	, z	0
		x	0	0	0			y	0		0			0		z	0	0		0

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

)

y	0	, z	0	)(z z	0	)
	0		0		0

1)Понятие частной производной функции нескольких переменных, понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости.

2)Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

3)Частные производные сложной функции.

4)Полный дифференциал, инвариантность формы полного дифференциала. Приложение понятия полного дифференциала.

5)Производная неявной функции, производная функции по направлению. Градиент,

уравнение касательной и нормали к поверхности.

Соседние файлы в папке 2 семестр Лекции Гришин

#
11.06.2024187.35 Кб0F-02-Lektsia_1.docx
#
11.06.2024222.86 Кб0F-02-Lektsia_10.pdf
#
11.06.2024295.03 Кб0F-02-Lektsia_11.pdf
#
11.06.2024698.99 Кб0F-02-Lektsia_12.pdf
#
11.06.2024381.14 Кб0F-02-Lektsia_13.pdf
#
11.06.202493.34 Кб0F-02-Lektsia_2.docx
#
11.06.2024240.61 Кб0F-02-Lektsia_3.pdf
#
11.06.2024341.19 Кб0F-02-Lektsia_4.pdf
#
11.06.2024395.01 Кб0F-02-Lektsia_5.pdf
#
11.06.2024195.35 Кб0F-02-Lektsia_6.pdf