2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_12

1. Пространство Rn

, топология, метрика

Элементами пространства Rn является наборы из n действительных чисел

x x1, x2 ,..., xn . Два набора x и y равны, если xi yi для всех i 1,2,...,n .

Пространство

Rn обладает структурой линейного пространства: определены

операции x y

и x , удовлетворяющие аксиомам 1-8 линейного

пространства.

может быть введено скалярное произведение по формуле

В пространстве R

n

n

x, y xk yk .

k 1

n

i

i

(x, y)

x y

(x y, x y)

2

(x y )

i 1

x y

2

x y, x y x, x 2(x, y) ( y, y) x

2

2(x, y)

y

2

x

2

2 x

y

y

2

x

2

y

1

, x

2

D существует непрерывная кривая x x(t) D, t ; ,

x

x( ) x ,

x( ) x , соединяющая эти точки и целиком принадлежащая

области

D .

ОПР. Множество D R

n

называется областью, если оно открыто и связно.

Окрестностью точки x0

Rn называют любое открытое множествоU ,

содержащее x0 .

Например, x

k

1

,

1

,...,

1

Rn

- k ый член последовательности.

1,

k

k

2

k

n 1

ОПР. Элемент A a1 , a2

,..., an R

n

называется пределом последовательности

x

k

n

k

k 1

элементов из R

, если lim x

A 0 , т.е.

k

lim xk A 0 n : k n xk U (A) .

k

Основные факты для пределов последовательностей в

R

n

связаны с

соответствующими теоремами теории пределов числовых

последовательностей.

k

n

ТЕОРЕМА 1. Последовательность x

k 1

в R

имеет предел тогда и только

тогда, если

имеет предел.

Каждаяi 1,2,...,n. из числовых последовательностей xk

1

i

k

ДОК. НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть

A lim x

k

. Тогда

k

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть последовательности

сходятся для любого

xk

i k 1

n

i 1,2,...,n. Тогда 0 N : k N и i 1, 2,..., n xik

ai

xik ai 2 2

n

i 1

ТЕОРЕМА 2. (Критерий Коши для сходимости последовательности в Rn )

Для сходимости последовательности xk k 1 в Rn необходимо и достаточно,

чтобы

0 N

: m, k N

xk xm

в Rn сходится, то

ДОК. НЕОБХОДИМОСТЬ. Если последовательность xk k 1

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Если 0 N : m, k N x

x

, то xi

xi

для

k

m

k

k

k

k 1

любого i 1,2,...,n. и для каждой числовой последовательности xi

выполняются условия критерия Коши, а значит существует lim xik

xi0 . Тогда

k

0

0

0

0

x

k

элемент x

k 1 .

x1

, x2

,..., xn является пределом последовательности

k x

k

U

(0)

r

Если последовательность x

k

n

k 1

в R

ограничена, то у нее существует

сходящаяся подпоследовательность.

k

n

ДОК. Из ограниченности последовательности x

k 1 в R

следует, что числовая

k

k 1 ограничена для каждого i 1, 2,..., n . Тогда по

последовательность xi

теореме БольцаноВейерштрасса для числовой последовательности при

k

m 1

. Удалим из

i 1 существует сходящаяся подпоследовательность x1

m

k

последовательности x

k 1 все члены с номерами k km . Без ограничения

перенумерованы

общности, полагаем, что члены последовательности xkm

m 1

x

k

по индексу m и используем для нее прежнее обозначение

k 1 . Аналогично,

для числовой последовательности

k

выберем сходящуюся ее

x2

k 1

все члены с номерами k km .

подпоследовательность x2km m 1

и удалим из xk k 1

xk k 1 следует, что она сходится.

3. Предел функции нескольких переменных.

ОПР. Функцией u f (x) f (x1, x2 ,..., xn )

n переменных, определенной на

множестве D f R

n

, называют отображение f : D f

R , ставящее в

Если функция имеет предел, то он не должен зависеть от способа

стремления x и y к нулю.

Повторные пределы.

Пусть для функции f (x, y)

, например, двух переменных, существует

lim f (x, y) g( y) для каждого y U (b) , а функция g( y) имеет предел в точке

x a

y b , равный A . Можно ли утверждать, что lim f (x, y) A

? Ответ на этот вопрос

x

a

y

b

в общем случае отрицательный.

Пример 3. Найти повторные пределыlim

lim f (x, y)

, lim

lim f (x, y)

для

x 0

y 0

y 0 x 0

Решение.

lim f (x, y) 0

для любого x 0 , поэтому lim

lim f (x, y) 0 . Аналогично,

y 0

x 0

y 0

lim f (x, y) 0 для всех y 0

, поэтомуlim lim f (x, y) 0 . Если x y , то f (x, x) 1

по

x 0

y 0 x 0

переменной x и lim f (x, y) 1. Таким образом, предел зависит от способа

x 0

x y

стремления

x; y

к нулю, поэтому предела нет.

Если предел функции двух переменных существует и равен A , то каждый из

повторных пределов, если он существует, также равен A .

Пример 4. Найтиlim sin(xy) .

x 0

x

y a

Решение.

0

: a, b D : a b

f (a) f (b)

Тогда n x

n

D :

f (x

n

)

n . Множество D ограничено, поэтому

последовательность

n

ограничена и по теореме БольцаноВейерштрасса

x

из нее может быть выделена сходящаяся подпоследовательность x

n

, для

m

которой x

0

n

замкнутое, точка x0 D и, в

lim x m . Поскольку множество D

m

следствии непрерывности функции в точке x

0

, она имеет предел в этой точке,

а поэтому является ограниченной в некоторой окрестности точки x0 .

n

.

Последнее противоречит способу построения последовательности x

x D

какой точке x множества D , то функция (x)

1

непрерывна в каждой

M f (x)

точке x D и по теореме 4 является ограниченной:

1

C f (x) M

1

, x D .

M f (x)

C

n

n

n

n

1

n

n

0 . Поскольку D

0

n

0 : n (x

) и (x

)

: (x

)

(x

)

f ((x

) ) f ((x

) )

ограниченное множество, обе последовательности (x

n

n

) и (x

)

ограниченные и из них, по теореме 3, можно выбрать сходящуюся

подпоследовательность. Без ограничения общности, можно считать (x

n

) и

(x

n

) этими подпоследовательностями. Если D замкнуто, то предел

a lim(xn ) lim(xn ) D и f (a) lim f ((xn ) ) lim f ((xn ) ) .

n

n

n

n

0 n : n n

f ((x

n

n

f ((x

n

f (a) f ((x

n

0

0

0 .

) ) f ((x

) )

) ) f (a)

) )

2

2

Последнее противоречит условию построения последовательностей (x

n

) и

(x

n

) .

1

2

2

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что функцияu sin

непрерывна в области

x

y

D (x, y) R

2

: 0 x

2

y

2

1 , но не равномерно непрерывна в ней.