Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

295.03 Кб

Скачать

☆

Ф-02- Лекция 11 Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.

1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку. Пусть функция y f (x) непрерывна на полуоси a; .

ОПР. Несобственным интегралом функции на полуоси a; называется число

		b
	f (x)dx lim		f (x)dx .
	f (x)dx lim		f (x)dx .
a	b	a
a		a

Если предел существует, то интеграл f (x)dx называется сходящимся, в противном -

расходящимся.

Пример 1 Исследовать на сходимость интеграл

РЕШЕНИЕ.

x1 q

lim

lim (

)

lim (

1 q

q 1

1 q

dx		в зависимости от q.
x	q	в зависимости от q.
	q

1			1	, если q 1
aq 1 )
aq 1 )			(q 1)aq 1

При	q 1конечного предела нет и интеграл расходится.

		dx		b	dx				b
При q 1		dx	lim		dx	lim ln			b	и интеграл также расходится.
		x			x				a

	a		b	a			b
	a			a
Для несобственных интегралов на полуоси справедливы свойства 1-5
с заменой b 0			на .
КРИТЕРИЙ КОШИ сходимости интеграла

Для сходимости интеграла								f (x)dx		необходимо и достаточно выполнения условия
Для сходимости интеграла								f (x)dx		необходимо и достаточно выполнения условия

			a
					b

			0 b b : b ,b b			f (x)dx
					b
ДОК. Сходимость интеграла равносильна существованию предела lim F (x) , где
								b
	x
F (x)		f (t)dt	- первообразная функции y f (x) на a; . Для существования lim
F (x)		f (t)dt
	a							b
	a
необходимо и достаточно по критерию Коши для предела функции, чтобы
							b
								f (x)dx .
			0 b b : b ,b	b F (b ) F (b )				f (x)dx .
							b
Сформулируем теоремы сравнения 1 и 2 для несобственных интегралов от на a;

F (x)

ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ 1.

Если непрерывные функции y f (x) и y

для x a; и интеграл g(x)dx сходится,

g(x) удовлетворяют условию 0


то сходится интеграл		f (x)dx
то сходится интеграл		f (x)dx
	a

f (x) g(x)

Если интеграл f (x)dx

расходится, то расходится интеграл

g(x)dx

ДОК. Используем критерий Коши:

	b		b		b
0 b b : b ,b b		g(x)dx		f (x)dx		g(x)dx
0 b b : b ,b b		g(x)dx		f (x)dx		g(x)dx

Следовательно, критерий выполняется для функции

(x)


Если интеграл		f (x)dx
Если интеграл		f (x)dx
	a

0 : b b ,b b

расходится, то критерий не выполнен:

b	b	b
	f (x)dx g(x)dx f (x)dx
b	b	b

Следовательно, критерий не выполнен и для функции

расходится.

g(x)

, т.е. интеграл g(x)dx

ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ 2.

Если непрерывные функции y f (x) и y g(x) удовлетворяют условию

0 f (x), 0 g(x) для x a; и существует lim				f (x)	K 0 , то сходимость и
0 f (x), 0 g(x) для x a; и существует lim					K 0 , то сходимость и
			x g(x)

расходимость интегралов f (x)dx		и	g(x)dx одновременная. Если K 0 , то из
	a		a

сходимости интеграла g(x)dx следует сходимость интеграла						f (x)dx , а из расходимости
	a				a

интеграла f (x)dx	следует расходимость интеграла g(x)dx .
a				a

ДОК. Доказательство для случая K 0

следует из неравенства

(K )g(x) f (x) (K )g(x) , справедливого при x b , и теоремы сравнения
полуоси	b; . При K 0	справедливо одностороннее неравенство f (x) g(

1на x) .

Тогда

из теоремы сравнения 1 из сходимости интеграла g(x)dx следует сходимость

f (x)dx

но не наоборот. Из расходимости «меньшего» следует расходимость «большего».

x3/ 2 dx

Пример 2. Исследовать на сходимость интегралы 1) 0

, 2) 1

1 x2

Решение.

Интеграл 1) не имеет особенностей в точке x 0 , его подынтегральная функция

3/2

f (x)

0 и функция g(x)

удовлетворяют условиям теоремы сравнения 2,

f (x)

поскольку lim

lim

. Поскольку g(x)dx расходится (см. пример 1), по

g(x)

1 x

теореме расходится и 1).

Для интеграла 2) функцией для сравнения является g(x)

, поскольку

f (x)

lim

1 и интеграл

g(x)dx сходится (см. пример 1). Тогда 2) также

x g(x)

1 x2

сходится.

cos ax

2. Сходимость несобственных интегралов для знаконепределенных функций Абсолютная сходимость интегралов.


ОПР. Интеграл				f (x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится
ОПР. Интеграл				f (x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится
			a

интеграл		f (x) dx .
интеграл		f (x) dx .
	a

ТЕОРЕМА (о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)

Если функция интегрируема на каждом конечном отрезке полуоси a; и

(x)


интеграл	f (x) dx сходится, то f (x)dx		также сходится.
a		a

ДОК. По критерию Коши из сходимости				f (x) dx следует, что
ДОК. По критерию Коши из сходимости				f (x) dx следует, что
			a
					b
	0 b b : b ,b b					f (x) dx .
	0 b b : b ,b b					f (x) dx .
					b
	b	b
Остается заметить, что		f (x)dx f (x) dx и критерий Коши выполняется для
	b	b

функции f (x) .

Требование интегрируемости функции существенно для справедливости утверждения

теоремы.

, x Q, x 1,

Пример 3. Функция

f (x)

, не интегрируема на любом конечном

, x R / Q, x 1

отрезке полуоси a; и

f (x)dx расходится. Однако, функция y f (x)

интегрируема и

f (x) dx

сходится.

Замечание. Если функция f (x)

абсолютно интегрируема на a, , а функция g(x)

ограничена на

то функция f (x)g(x) абсолютно интегрируема на

Действительно, из ограниченности функции g(x) :

C 0 : g(x) C, x

Из абсолютной интегрируемости f (x) :

0 b b : b , b b

f (x) dx / C .

Тогда 0 b b

: b ,b b

f (x)g(x)dx

f (x) g(x) dx C / C

Пример 4. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл 0 k 2 x2 dx .

f (x)

0 интегрируемая на 0; , функция

g(x)

cos ax

1ограничена на

cos ax

0; . Следовательно, интеграл

dx абсолютно сходится при любых a и k 0

Достаточный признак ДИРИХЛЕ для сходимости несобственных интегралов.

Если функция

y f (x) непрерывно дифференцируема на a; , функция y g(x)

непрерывна на

a; и выполнены условия

1)	f (x) монотонно убывает, причем lim f (x) 0 ;
	x
2)	g(x) имеет ограниченную первообразную G(x) :
	C 0 : G(x) C, x a;


Тогда интеграл		f (x)g(x)dx	сходится.
Тогда интеграл		f (x)g(x)dx	сходится.
	a

ДОК. По формуле интегрирования по частям:

b		b	b
	f (x)g(x)dx f (x)G(x)	b	G(x) f
	f (x)g(x)dx f (x)G(x)	b	G(x) f
b			b

(x)dx

Из условия 1), 2) теоремы следует, что 0, b b1 : b , b

Для второго слагаемого

G(x) f (x)dx G(x)

f (x) dx C

f (x)dx C( f (b )

Тогда f (x)g(x)dx

f (x)G(x)

G(x) f

(x)dx

Пример 5. Доказать, что интеграл

cos x

сходится при r 0 .

b f (x)G(x)		b
b f (x)G(x)		b
1		b


f (b )) .
	2


РЕШЕНИЕ. Абсолютная сходимость интеграла при r 1			обеспечена замечанием.
При 0 r 1 функция f (x)	1	монотонно убывает на a; , a 0

	xr
Первообразная функции g(x) cos x , равная G(x) sin x ,			ограничена на a; .

Тогда по признаку Дирихле интеграл сходится.

Достаточный признак АБЕЛЯ сходимости несобственных интегралов.

Пусть функции f (x) и g(x) определены на a; , непрерывно дифференцируемы на нем

и удовлетворяют условиям
1)	функция g(x) интегрируема на a; (не обязательно абсолютно);
2)	функция f (x) монотонная и ограниченная на a; .	C :	f (x) C x	a;
2)	функция f (x) монотонная и ограниченная на a; .


Тогда		f (x)g(x)
Тогда		f (x)g(x)
	a

Док. Из условия

dx сходится.
	b
интегрируемости 0 b b : b ,b b		g(x)dx / C .
интегрируемости 0 b b : b ,b b		g(x)dx / C .

, для

Если f (x) 0 на a; , то по теореме о среднем существует

: b b

которого

f (x)g(x)dx C

и критерий Коши

f (x)g(x)dx f (b ) g(x)dx . Тогда

сходимости интеграла выполняется.

, для

Если f (x) 0 на a; , то по теореме о среднем существует

: b b

которого

f (x)g(x)dx C

и критерий Коши

f (x)g(x)dx f (b ) g(x)dx . Тогда

сходимости интеграла выполняется.

3/ 2

sin x

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл

(x 1)(x 2)

Решение.

Функция f (x)

ограниченная и монотонная на

. Функция g(x)

x sin x

имеет

x 1

x 2

сходящийся интеграл по признаку Дирихле. Тогда по признаку Абеля интеграл сходится.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1)Понятие несобственного интеграла на бесконечном промежутке. Критерий Коши сходимости интеграла.

2)Теоремы сравнения для несобственных интегралов на неограниченном промежутке.

3)Понятие абсолютной сходимости несобственных интегралов. Теорема о сходимости абсолютно сходящихся интегралов.

4)Критерий АбеляДирихле сходимости несобственных интегралов.

Соседние файлы в папке 2 семестр Лекции Гришин

#
11.06.2024187.35 Кб0F-02-Lektsia_1.docx
#
11.06.2024222.86 Кб0F-02-Lektsia_10.pdf
#
11.06.2024295.03 Кб0F-02-Lektsia_11.pdf
#
11.06.2024698.99 Кб0F-02-Lektsia_12.pdf
#
11.06.2024381.14 Кб0F-02-Lektsia_13.pdf
#
11.06.202493.34 Кб0F-02-Lektsia_2.docx
#
11.06.2024240.61 Кб0F-02-Lektsia_3.pdf
#
11.06.2024341.19 Кб0F-02-Lektsia_4.pdf