Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_10

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

222.86 Кб

Скачать

☆

Ф-02-Лекция 10. Несобственные интегралы.

1. Несобственный интеграл от неограниченной функции на конечном отрезке. Пусть функция y f (x) непрерывна на a;b и неограниченна в левосторонней

окрестности точки b . ОПР. Несобственным

интегралом функции y f (x) на a;b называют число

b 0

f(x)dx lim f

(x)dx

Если несобственный интеграл существует, то говорят о сходящемся интеграле. Если предел не существует или он бесконечный, то говорят о расходимости интеграла.

b 0

Пример 1. При каких r

сходится интеграл

b x

b 0

1 r

РЕШЕНИЕ.

= lim b x

1 r

lim

b a

, если 1 r 0

1 r

b x

1 r

b 0

Если r 1

, то

и интеграл расходится.

b x

b 0

Если r 1, то

b x

и интеграл также расходится.

Таким образом, в примере 1 интеграл сходится при r 1 и расходится при r 1.

СВОЙСТВА несобственных интегралов

b 0

1. Если интегралы

f (x)dx и

g(x)dx сходятся, то интегралы ( f (x) g(x))dx

b 0

cf (x)dx также сходятся, причем

b 0

( f (x) g(x))dx =

f (x)dx +

g(x)dx ,

cf (x)dx =c

f (x)dx .

ДОК. (следует арифметических свойств пределов).

b 0

2. Если интеграл

f (x)dx сходящийся и

F(x)

- первообразная функции y f (x)

на

то существует

lim

F (x) F (b 0)

и справедлива формула Ньютона-Лейбница

x b 0

b 0

f (x)dx

= F(b 0) F(a) .

b 0

ДОК. Если интеграл

f (x)dx

сходится, то существуют пределы

F (b 0) F (a) .

lim

f (x)dx

lim

F (b

F (a))

a;b

					1	arcsin x
Пример 2. Вычислить интеграл										dx

							1 x		2
					0		1 x
Решение.	1	arcsin x		dx lim	arcsin2		x x 1			0, 5lim arcsin2 (1 )	2
	0							x 0			8

		1 x	2	0	2					0
			2	0						0

3. Если функции y f (x) и y g(x)						имеют непрерывные производные на a;b
	b 0		b 0
интегралы				g(x) f
интегралы		f (x)g (x)dx и		g(x) f	(x)dx сходящиеся, то справедлива формула
	a		a
интегрирования по частям:

	b 0
ДОК.		f (x)
ДОК.		f (x)
	a

f (x)g (x

b 0

	f (x)g (x)dx = f (x)
a

g (x)dx = lim ( f (x)g(x)
	0

b 0

)dx + g(x) f (x)dx = ( f

g(x)
b
a

(x)g

	b 0
	a
	a
	b
	g(
	a

(x))

b 0
	g(x) f
	g(x) f		(x)dx .
a
x) f
x) f		(x)dx ).Тогда

ba 0 .

lim0

(

f (x)g(x)

	b
	a
	a

Пример 3.

При каких

сходится интеграл 1 x ln xdx ?

Решение.						x		1											1				1
1				1		x	1	1											1	1			1
1				1			1					1					1			1						ln 1/ x
x	ln xdx ln xd									x		1			ln x					x		dx		lim			1
x	ln xdx ln xd					1		1		x					ln x				1	x		dx	1	lim			1
0				0		1		1									0		1	0			1	x 0		1/ x
																	0							x 0
	1				1
	1			1
			2	x
(		1)	2
(		1)			0
					0
Первый предел равен нулю, если1 0 1																					и не существует при						1.
Второе слагаемое при условии													1			имеет конечное значение										1		.

																									( 1)2
									ln		2			x
Для 1первообразная равна									ln					x	, которая бесконечно большая в точке x 0
Для 1первообразная равна										2					, которая бесконечно большая в точке x 0
										2
расходится.
										b 0
4. Пусть в сходящемся интеграле														f (x)dx				сделана замена переменной x (t) ,
4. Пусть в сходящемся интеграле														f (x)dx				сделана замена переменной x (t) ,
												a

и интеграл

t ;

с непрерывно дифференцируемой функцией (t) , причем

( ) a , lim (t) b

t 0

Тогда интеграл

f ( (t)) (t)dt

сходится и справедлива формула замены переменной:

b 0

f (x)dx =

f ( (t)) (t)dt .

b 0

( )

f ( (t)) (t)dt)

f ( (t)) (t)dt .

ДОК.

f (x)dx

lim

f (x)dx = lim(

b 0

5. Сходимость и расходимость интегралов f (x)dx и f (x)dx для любого c a,b

одновременная.

b 0

ДОК.

f (x)dx

lim

f (x)dx =

f (x)dx lim

f (x)dx . Если один из пределов

существует, то существует и другой. Обратно, если один из интегралов не существует, то второй интеграл также расходится.

2. Несобственные интегралы от положительных функций f (x) 0 . Необходимый и достаточный КРИТЕРИЙ сходимости интегралов.

b 0

Для сходимости интеграла

f (x)dx,

f (x) 0, x

a;b

необходимо и достаточно

выполнения условия sup

f (t)dt .

x a;b

ДОК. В условии теоремы первообразная

F (x)

f (t)dt монотонно возрастающая

b 0

f (x)dx

( F (x) f (x) 0 ), ограниченная функция, поэтому у нее есть lim F (x)

x b 0

b 0

Если интеграл f (x)dx

сходится, то F (x) sup

F (x)

f (x)dx .

x a;b

ТЕОРЕМА сравнения 1.
Если непрерывные функции y f (x)				и y g(x) удовлетворяют условию 0
		b 0								b 0
для x a;b и интеграл		g(x)dx сходится, то сходится и интеграл f (x)dx .
		a								a
b 0					b 0
f (x)dx	расходится, то расходится и интеграл				g(x)dx .
a					a
x	x		x			x					b 0
ДОК. f (t)dt g(t)dt sup			g(t)dt sup			f (t)dt				и интеграл	f (
a	a	x a;b	a	x a;b		a					a
a	a		a			a					a
		b 0					x			x
по критерию. Если интеграл			f (x)dx	расходится, то g(t)dt f (t)dt ,							sup
			a				a			a	x a;b
			a				a			a
интеграл расходится.
					/ 2
Пример 4 Исследовать на сходимость интеграл							(tgx)	p	dx .
								p

					0

f (x) g(x)

Если интеграл

x)dx	сходится
x

g(t)dt = и
a

При

, подынтегральная функция неограниченная в окрестности точки

	x
	x	2
		2

и не

		/ 2
имеет особенностей в точке x 0 . Тогда сходимость интеграла (tgx) p dx и интеграла
		0
/ 2		0	/ 4	t	p	dt
(tgx) p dx одновременная. Сделаем замену t		x (ctgt) p dt						.
(tgx) p dx одновременная. Сделаем замену t		x (ctgt) p dt					p	.
/ 4	2	/ 4	0	tgt		t

2 для всех t 0; , поэтому в этой окрестности

С учетом, что lim

t 0 tgt

tgt

справедливо неравенство t

. Интеграл от функции

сходится при p 1,

t p

tgt

поэтому по теореме сравнения 1 интеграл сходится при 0 p 1.
При p 0			особенность подынтегральной функции возникает в окрестности x 0				.Интеграл
/ 2		x p	1			dx сходится при p 1 0 p 1

					p
0	tgx			x

При p 0

интеграл собственный. Таким образом, исходный интеграл сходится при

1;1

ТЕОРЕМА сравнения 2.

Если непрерывные функции y f (x) и

y g(x) удовлетворяют условию

f (x) 0, g(x) 0, x

a;b

и существует lim

f (x)

K 0

, то сходимость и расходимость

g(x)

x b 0

b 0

интегралов

f (x)dx

g(x)dx одновременная. Если K 0 , то из сходимости g(x)dx

b 0

следует сходимость

f (x)dx , а из расходимости

f (x)dx следует расходимость

g(x)dx .

ДОК. Если K 0 , то

: x

b ;b

(K )g(x) f (x) (K )g(x)

По свойству 5 несобственных интегралов для c b сходимость или расходимость

интегралов на a;b и

c,b одновременная. На c,b

к интегралам можно применить

b 0

теорему сравнения 1. Тогда из сходимости

f (x)dx

следует сходимость интеграла

b 0

(K )g(x)dx , а, следовательно, по свойству 1

и интеграла g(x)dx . Аналогично, из

b 0

сходимости

g(x)dx и свойства 1 следует сходимость интеграла (K )g(x)dx .

b 0

Тогда по теореме сравнения 1 сходится интеграл

f (x)dx . Если один из интегралов,

b 0

например,

f (x)dx расходится, то по теореме сравнения 1 расходится интеграл

b 0

(K )g(x)dx , а, следовательно, и интеграл

g(x)dx .

b 0

Если K 0

, то справедливо неравенство f (x) g(x) и поэтому из сходимости

g(x)dx

b 0

следует сходимость

f (x)dx , а из расходимости

f (x)dx

следует расходимость

g(x)dx .

СЛЕДСТВИЕ. Если функция y f (x)

, f (x) 0

непрерывна на a;b и неограниченна в

окрестности b ;b , причем lim f (x)(b x)r

K 0 . Тогда при 0 r 1интеграл

x b 0

b 0

f (x)dx сходится, при r 1 интеграл f (x)dx расходится.

ДОК. Сводится к теореме сравнения 2 для g(x)

и примеру 1.

b x r

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл 0

1 x

В качестве функции для сравнения выберем


Тогда	lim	f (x)				lim		1 x	lim
Тогда	lim	g(x)				lim		(1 x)(1 x)	lim
	x 1 0	g(x)			x 1 0			(1 x)(1 x)	x 1 0
и интеграл 0				dx			.

			1 x		2
	1		1 x

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

g(x)	1
	1

1	1	.
1 x	2

, от которой интеграл сходится.

По теореме сравнения 2 сходится

1)Понятие несобственного интеграла от неограниченной функции. Свойства несобственного интеграла.

2)Критерий сходимости несобственного интеграла для неотрицательных функций.

3)Теоремы сравнения для несобственных интегралов.

Соседние файлы в папке 2 семестр Лекции Гришин

#
11.06.2024187.35 Кб0F-02-Lektsia_1.docx
#
11.06.2024222.86 Кб0F-02-Lektsia_10.pdf
#
11.06.2024295.03 Кб0F-02-Lektsia_11.pdf
#
11.06.2024698.99 Кб0F-02-Lektsia_12.pdf
#
11.06.2024381.14 Кб0F-02-Lektsia_13.pdf
#
11.06.202493.34 Кб0F-02-Lektsia_2.docx
#
11.06.2024240.61 Кб0F-02-Lektsia_3.pdf