2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_8

Ф-02-Лекция 8.

Приложения определенного интеграла. Площадь, длина кривой.

1. Площадь криволинейной трапеции.

Аксиоматика площади.

Площадью называют функцию S(G) 0 , определенную на областях G

плоскости

называемых измеримыми, удовлетворяющую условиям:

1) Площадь квадрата со стороной1 равна 1.

2) Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна a b .

3) Если область G G1

G2 , где G1 и G2 измеримы и пересекаются только по границе, то

G измерима и

S

G G

S (G ) S (G )

.

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

4) Если фигуры G

и G измеримы и G

G , то S

G

S

G

.

Область Gin , являющаяся объединением конечного числа прямоугольников,

пересекающихся только по границе так, что Gin

G

, называется объемлемой областью G .

Область Gon , являющаяся объединением конечного числа прямоугольников,

пересекающихся только по границе так, что G Gon

, называется объемлющей для G .

Верхней мерой области G

, обозначение

S

G inf S (Gon ) , нижней мерой области G ,

обозначение

S

G

sup S

G

in

Всякая ограниченная область G на плоскости имеет нижнюю меру

S

G

и всякая область

G , имеющая внутреннюю точку, имеет верхнюю меру

S

G

.

была равна нулю.

Док.

G

, G G G

G

0 ( G) G

(G )

on

in

on

in

on

in

n

n

Если область G измеримая, то существует последовательность областей Gon

и Gin , по

которой lim

n

n

. Тогда по лемме о полицейских,

(Gon ) (Gin ) (G) (G) 0

n

( G) 0 ( G) 0

Обратно, пусть мера границы нулевая, а (G) не существует, т.е. (G) (G)

трапецию, построенную для кусочно-постоянной функции

k

min

f (x), x x

k 1

; x

k

,

n

n

x xk 1 ;xk

. Тогда S Gon

( ) k xk

и S Gin ( ) k xk .

f

(x)

k 1,2,...,n

k 1

k 1

S

G

( )

и

S

G ( )

являются интегральными суммами (верхняя и нижняя интегральные

on

in

суммы Дарбу). Если разбиение , то сумма S Gon ( ) убывает,

а

S

G

( )

- возрастает.

in

b

Если функция f (x)

интегрируема, то inf S Gon ( ) sup S Gin ( )

f (x)dx .

a

b

b

b

Тогда SФ f

SФg

Sx

S x

SФ f

SФg

f (x)dx g(x)dx f (x) g(x) dx .

x

a

a

a

Формула для площади фигуры Фy

доказывается аналогично. Площадь имеют фигуры,

являющиеся конечным объединением элементарных областей типаФx

и Фy .

Пример 1

Найти площадь области, ограниченной осями координат и кривой x

y a

y

a

x 0 x 0; a

1

n

1 и 2

2

, имеющая площадь S

2

k k

. Объемлемой фигурой дляФ

является

k 1

элементарная область Ф , ограниченная кусочно-постоянной функцией

,

;

,

1

n

r r ( ) k

k 1

k

и лучами

,

, имеющая площадь S

2

.

2

k

k 1,2,...,n

1

k

2 k 1

РЕШЕНИЕ.

0,

. S

1

/ m a2 sin 2 m d

a2

sin 2 d

a2

.

2

1

m

2

2m

4m

0

0

ДЛИНА дуги кривой.

ОПР. Дуга кривой

разбивается точками Ak

, k 1,2,...,n на n сегментов, концы которых

соединены отрезками

A

; A

, образующими ломанную линию

. Ее длина L

зависит от

k

k 1

дуги кривой и разбиения кривой точками Ak , k 1,2,...,n

Длиной кривой называют число, равное L lim L , если оно существует.

0

x0 , x1 ,..., xn 1

отрезка a;b соответствует ломаная , состоящая из объединения

отрезков с началом в точках

Ak (xk ; f (xk )) и концом в точке Ak 1(xk 1; f (xk 1)) , k 0,1, 2,..., n

n

Длина L ломанной равна L

2

xk

2

fk , где fk f (xk ) f (xk 1 ) , xk xk xk 1.

k 0

Если функция y f (x) имеет непрерывную производную на отрезке a;b , то по теореме

Лагранжа существует набор

1 ,

2 ,..., n точек k xk 1; xk , для которых

fk f ( k ) xk . Тогда длина ломанной

b

L lim L

1 f

2

dx (*)

0 =

(x)

a

ФОРМУЛА вычисления длины кривой, заданной через параметр.

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями

x x(t),

t ;

, x (t) 0

y y(t)

в которых функции x(t),

y(t) имеют непрерывные производные, то

L

2

2

dt .

x (t) y (t)

Для ее доказательства сделаем в интеграле (*) замену

x x(t), t ;

. Тогда

y (t)

b

y (t)

2

f (x)

2

x (t)

2

y (t)

2

f (x)

, dx x (t)dt

x (t)dt

и 1

dx

1

dt

x (t)

a

x (t)

S(h)

a h

f ( ) f ( ) (x a)dx

(h)

(x a)2

x a h

(h)

h2

o(h2 ) , где (h) -

a

f

f

1

2

2

2

f

x a

функция колебания для производной

f

(x) на отрезке a,a h . Из предположения о

непрерывности f

(x) следует, что f (h) o(1) .