2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_7
.pdf
Лекция 7. Вычисление определенного интеграла. 1. Интеграл как функция верхнего предела.
Пусть f (x) - непрерывная функция на отрезке a;b . Рассмотрим функцию
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) |
|
f (t)dt , определенную на отрезке a;b . |
В силу оценки интеграла, |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (t)dt |
|
f (t)dt |
|
|
f (t)dt |
sup f (x) x |
|
x |
|
, функция |
F (x) |
||
F (x ) F (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
x |
|
x a;b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
непрерывна на отрезке a;b |
. Утверждение о непрерывности сохраняется F (x) , если |
||||||||||||||||
отказаться от непрерывности функции f (x) и ограничиться ее интегрируемостью. ТЕОРЕМА 1.
Пусть f (x) - непрерывная функция на отрезке a;b . Тогда производная интеграла
|
x |
|
|
|
|
F (x) |
|
f (t)dt |
по верхнему пределу в точке |
x a;b |
равна f (x) . |
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
ДОК. Вычислим производную функции F (x) в любой точке x a;b .
F (x x) F (x) |
|
1 |
x x |
|
|
|
|
f ( )d x; x x f ( ) |
|||
x |
x |
||||
|
x |
|
|||
|
|
|
|
При x 0 |
по теореме о промежуточной функции x x x имеем |
|
основании непрерывности функции f (x) имеем lim |
f ( ) f (x) |
|
|
x 0 |
|
x
и на
Если
c a
или
c
b
, то производная функции
x F (x) f (t)dt
a
односторонняя: правая и
левая соответственно.
СЛЕДСТВИЕ. Если функция f (x) кусочно-непрерывна на a;b , то F (x) имеет производную равную f (x) в точках непрерывности, а точках разрыва xk функция F (x) производной не имеет, но остается непрерывной (разрыв производной первого рода). ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть f (x) кусочно-непрерывная функция на a;b . Всякую непрерывную на a;b функцию G(x) называют первообразной функции f (x) , если в точках непрерывности функции f (x) выполняется условие G (x) f (x) .
Если G1 (x) и G2 (x) две первообразные, то G1 (x) G2 (x) C на каждом интервале непрерывности функции f (x) , но в силу непрерывности G1 (x) и G2 (x) их разность также является непрерывной функцией, поэтому константа C сохраняется единой для всех интервалов, т.е. G1 (x) G2 (x) C . Согласно теореме 1 функция F (x) является первообразной функции f (x) даже, если f (x) кусочнонепрерывна.
Следующая теорема связывает понятия первообразной и интеграла Римана. ТЕОРЕМА 2. (ФОРМУЛА Ньютона-Лейбница)
Если f (x) - кусочно-непрерывная функция на a;b и G(x) - любая ее первообразная.
Тогда b f (x)dx G(b) G(a) .
a
ДОК. Функция F (x) x f (t)dt
a
G(x) C . Подставляя
x
a
, получим 0 G(a) C , т.е.
b
C G(a) . Подставляя x b , получим f (x)dx G(b) G(a) = G(x) 
ba .
a
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле. ТЕОРЕМА 3. (ФОРМУЛА интегрирования по частям)
Если u(x), v(x) кусочно-гладкие (имеющие кусочно-непрерывную производную) функции
на отрезке |
a;b |
, то имеет место формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x)v (x)dx u(x) v(x) |
a |
|
v(x)u (x)dx . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОК. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
d (u v) u v |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
uv |
vu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл J m |
|
sin |
m |
xdx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ. J m |
|
sin |
m |
xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
sin |
m 1 |
xd cos x sin |
m 1 |
x cos x |
/ 2 |
(m |
1) |
sin |
m 2 |
x cos |
2 |
xdx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m 1) |
|
sin |
m 2 |
x (1 sin |
2 |
x)dx (m 1)Jm 2 |
(m 1)Jm . Тогда |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
m 1 |
J |
|
|
, |
J |
|
|
|
|
m |
m |
m 2 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого четного m 2n J 2n |
|
2n 1 !! |
|
|
. |
|
|
|||||
2n !! |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 |
|
sin xdx 1. Для любого нечетного |
m 2n 1 |
|||||||||
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Замена переменной в определенном интеграле.
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2n !! |
|
J |
2n 1 |
|
. |
2n 1 !! |
|||
|
b |
|
|
|
|
Пусть задан интеграл |
|
f (u)du от непрерывной на a;b функции y f (u) и функция |
|||
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
u u(t) , определенная на отрезке ; и имеющая непрерывную производную в каждой |
|||||
точке этого отрезка, причем u( ) a, u( ) b . |
|||||
ТЕОРЕМА 4. |
|
|
|
|
|
Если функция u u(t) : |
; |
A; B a;b и функция y f (u) непрерывна на A; B , |
|||
то справедлива формула |
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
f (u)du f (u(t))u (t)dt . |
||
|
|
|
a |
|
|
ДОК. Пусть F(u) первообразная функции y f (u) на A; B . Тогда формула замены |
|||||
переменной для неопределенного интеграла утверждает, что F(u(t)) является |
|||||
|
|
|
|
|
|
первообразной функции f (u(t)) u (t) на отрезке ; и F(u(t)) G(t) C , где G(t) |
|||||
произвольная первообразная этой функции. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница |
|||||
b |
|
|
|
|
|
f (u)du F (b) F (a) F (u( )) F (u( )) G( ) G( ) f (u(t))u (t)dt . |
|||||
a |
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2. Доказать, что b |
f (x)dx b |
f (b x)dx . |
|||
0 |
0 |
РЕШЕНИЕ. Сделаем замену
u b x,
dx
du
. Тогда
b
0
0 f (b x)dx
b
f (u)du
b
0
f
(x)dx
.
4. Еще две Теоремы о среднем для определенного интеграла. ТЕОРЕМА 5. Пусть функции f (x), (x) непрерывны на отрезке
x a,b . Тогда существует точка c a,b , для которой
a,b
и
(x)
0
для
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
f (x) (x)dx |
f (c) |
(x)dx . |
|||||
a |
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|||
ДОК. Из непрерывности функции |
f (x) следует, что область ее значений на отрезке a,b |
|||||||
есть отрезок m, M , где m min |
f (x), |
M max |
f (x) . Тогда с учетом положительности |
|||||
|
|
x a;b |
|
|
x a;b |
|
||
значений функции (x) справедливо неравенство m (x) f (x) (x) M (x) . После его интегрирования на отрезке a,b , получим
|
|
b |
|
b |
|
|
b |
m |
(x)dx |
|
f (x) (x)dx M |
(x)dx . |
|||
|
|
|
|
||||
|
a |
a |
|
a |
|||
Тогда величина
|
b |
f (x) (x)dx |
|
||
a |
|
|
|
|
b |
|
|
(x)dx |
|
|
a |
m, M
, т.е. существует
c
a,b , для которого
b |
f (x) (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
f (c) . При (x) 1 |
получим знакомый результат |
|
f (x)dx |
|
b |
|
|||
|
(x)dx |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 6. Пусть функция f (x) |
непрерывна на отрезке a,b , функция ( |
||||
|
|
|
|
|
|
непрерывна на a,b и имеет производную на интервале a;b , причем (x) существует точка c a,b , для которой
f (c)
x)0 .
(b a) 0
Тогда
.
ba
c f (x) (x)dx (a)
a
f
(x)dx
.
ДОК. Рассмотрим функцию
F(x) |
x |
f |
|
||
a |
|
|
(t)dt
, являющуюся первообразной функции
f
(x)
на
отрезке a,b , и применим к интегралу ab f (x) (x)dx формулу интегрирования по частям:
J |
|
b |
(x)dF(x) (x) F(x) |
b |
|
|
b |
|
(b) |
|
b |
f (x)dx |
|
b |
|
||
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
a |
a |
(x)F(x)dx |
a |
a |
(x) F(x)dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция F (x) непрерывна на a,b , поэтому EF |
m; M . Оценим сверху с учетом (b) 0 |
||||||||||||||||
и ( |
|
|
, а также теоремы 5, правую часть равенства для J : |
|
|
|
|||||||||||
(x)) 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(b) F (b) F (c) ( (x))dx M (b) ( (x))dx M (a) |
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, для оценки снизу (b)F (b) F (c)b ( (x))dx m (a) .Таким образом,
a
справедливо двойное неравенство
b m (a) f (x) (x)dx
a
значений функции F (
M (a) и величина |
1 |
b |
f (x) (x)dx принадлежит области |
||||
(a) |
|||||||
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
x) . Тогда найдется число c a;b , для которого |
|||||||
|
1 |
b f (x) (x)dx F (c) c |
f (x)dx |
||||
(a) |
|||||||
a |
|
|
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функция (x) неотрицательна и не убывает на отрезке a,b ( ( |
|||||||
справедливо равенство |
|
b |
f (x) (x)dx (b) |
|
b |
f (x)dx для некоторого |
|
|
|
||||||
a |
c |
||||||
|
|
|
|||||
УПРАЖНЕНИЕ.
x c
) 0) , то
a,b .
|
d |
|
( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) Докажите, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dx |
|
f (t)dt |
|
f ( (x)) |
(x) |
||
|
|
( x) |
|
|
|
||
2) Докажите, что для периодической функции
f
f ( (x)) (x) .
(x) с периодом T интеграл на отрезке
длины периода не зависит от его начала:
a T |
T |
|
f (x)dx f (x)dx |
a |
0 |
a R
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1)Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу
2)Формула Ньютона – Лейбница.
3)Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Пример.
4)Формула замены переменной в определенном интеграле.
5)Теоремы о среднем для определенного интеграла.