2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_6
.pdf
Лекция 6. Интеграл Римана. |
|
|
1. Понятие интеграла Римана. Необходимое условие интегрирования. |
|
|
ОПР. На отрезке a;b расположены точки x0 a, x1 , x2 |
,..., xn b . Говорят, что |
|
разбиение x0 , x1 ,..., xn отрезка a;b c параметром |
max xk , где xk |
xk |
|
k |
|
ОПР. Для любого набора 1 , 2 ,..., n точек k xk 1; xk выражение |
|
|
они задают
xk 1 .
n |
|
|
|
|
S ( f , ) f ( k ) xk |
называется интегральной суммой Римана. |
|||
k 1 |
|
|
|
|
ОПР. Интегралом Римана функции y f (x) на отрезке a;b называют число равное |
||||
|
|
b |
|
|
|
J |
|
f (x)dx |
lim S ( f , ) . |
|
|
a |
|
0 |
|
|
|
|
|
т.е. 0 : , 
и 
S ( f , ) J 
.
Функция, для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой. Существуют функции, не имеющие интеграла, например, на отрезке 0,1 функция
|
1, x Q |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
не имеет интеграла, поскольку существуют разбиения |
||||
0, x R / Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угодно малым значением |
, для которых |
|
S ( f , |
|
||
S ( f , ) =1 и |
) =0. |
|||||
ТЕОРЕМА 1. (необходимое условие существования интеграла)
и
с как
|
b |
|
Если существует интеграл Римана J |
|
f (x)dx , то функция y f (x) ограничена на |
|
||
|
a |
|
отрезке a;b . |
|
|
ДОК. Из условия существования интеграла следует ограниченность интегральных сумм
Римана: M : S ( f , ) M для любых разбиений с достаточно малым |
и любым . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
Фиксируем одно из таких разбиений . Пусть функция y f (x) неограниченна на a;b . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
Тогда она неограниченна хотя бы на одном из отрезков разбиения , например, на a; x1 . |
|||||||||
Изменяя только 1 |
можно добиться как угодно больших значений первого слагаемого |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
интегральной суммы S ( f , ) f ( 1 ) x1 f ( k ) xk . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
ОПР. Разбиение отрезка |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x0 |
, x1 |
,..., xp называется последующим по отношению к |
||||||
x0 , x1 ,..., xn , обозначение |
|
|
, если точки разбиения содержатся в множестве точек |
||||||
|
|||||||||
разбиения |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следующие два утверждения подготовят к доказательству достаточного условия |
|||||||||
интегрируемости функции. |
|
|
|
|
|||||
ЛЕММА 1. Если |
- разбиение отрезка a;b , для которого , то для любого |
||||||||
последующего разбиения выполняется неравенство S ( f ) S ( f ) f ( ) b a . Здесь |
|||||||||
f ( ) |
sup |
f (x1 ) f (x2 ) - колебание функции f (x) на множестве X a;b . |
|||||||
x1 ,x2 X , x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
ДОК. Выберем любой отрезок |
xk 1; xk разбиения . В разбиении на этом отрезке могут |
||||||||
появиться новые точки xk 1,1 |
, xk 1,2 ,..., xk 1,m и новые k ,1 , k ,2 ,... k ,m . Тогда изменение |
||||||||
интегральной суммы можно оценить с помощью функции колебания: |
|||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
k f ( k , j ) xk , j f ( k ) xk f ( k , j f ( k ) xk , j |
|||||||
j 1 |
j 1 |
|
m |
|
|
k |
f ( k , j ) f ( k ) xk , j |
f |
( ) xk |
|
j 1 |
|
|
.
Наконец,
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
S ( f ) S ( f ) k k |
f ( ) xk f ( ) b a . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
k 1 |
|
ЛЕММА 2 Для двух произвольных разбиений и отрезка a;b , для которых |
|||||||||||
|
|
|
|
и , справедлива оценка S ( f ) S ( f ) 2 f ( )(b a) . |
и . |
||||||
|
|
||||||||||
ДОК. Рассмотрим разбиение , в котором участвуют все точки из разбиения |
|||||||||||
Тогда , и |
|
|
|
. |
По лемме 1 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
S ( f ) S ( f ) S ( f ) S ( f ) S ( f ) S ( f ) 2 f ( )(b a) . |
|
||||||
Интересно следствие из доказанной оценки, получаемое предельным переходом при
|
|
0 |
: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx S ( f ) f ( )(b a) для любого : |
и любого . |
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
Следующая теорема выражает достаточное условие интегрируемости. |
|||||
ТЕОРЕМА 2. Всякая функция, непрерывная на отрезке a;b , интегрируема на |
|||||
ДОК. Используя критерий Коши достаточно доказать, что |
|
||||
a;b
.
0 |
|
: , : , S |
( |
|
|
|
Действительно, из условия непрерывности функции
f ) y
S |
( f |
|
|
f (x) |
|
)
.
следует, что существует
0 , для которого f |
( ) |
|
. Тогда |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
, |
|
|
|||||||
|
|
|
2(b a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
( f ) S |
( f ) 2 |
f |
( )(b a) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Свойства определенного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
||||
А. Свойство линейности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функции y f (x) , |
y g(x) интегрируемы на отрезке |
|||||||||
, 
.
a;b ,
с учетом леммы 2
b f (x) g(x) dx
a
b f (x)dx
a
b g(x)dx
a
|
b |
|
и |
|
kf (x)dx |
|
||
|
a |
|
b k f (x)dx
a
для любого
k
R
.
B. Аддитивность интеграла по множеству.
Если функция y f (x) интегрируема на отрезках a;c и c;b , то она интегрируема на их объединении a;b a;c c;b .
Действительно, любое разбиение : |
отрезка a;b порождает два разбиения |
||||||||||
|
|
: |
|
, |
|
отрезков a;c и c;b соответственно. Тогда S ( f ) S ( f ) S ( f ) и, |
|||||
, |
|
|
|
||||||||
|
0 , получим |
|
|
||||||||
переходя к пределу при |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
c |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx f (x)dx f (x)dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
c |
|
|
C. Интегрирование неравенства. |
|
|
|
||||||||
Если функции y f (x) , y g(x) интегрируемы на отрезке a;b и f (x) g(x), |
x a;b , |
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx b g(x)dx . |
|
|
a |
a |
Действительно, S ( f ) S (g) и знак неравенства не меняется после предельного перехода. Если неотрицательная непрерывная функция хотя бы в одной точке отрезка
положительна, то
b
a
f
(x)dx
0
.
D. Оценка определенного интеграла.
Если m inf |
f |
x a;b |
|
Действительно,
(x) и g(x)
M sup |
f (x) , |
x a;b |
|
m f (x), x |
|
то m(ba;b
ba) f (x)dx M b
a
и по свойству C
a
.
Аналогично,
f (x)
g(x)
M
,
m(b a)x a;b
b |
b |
mdx f (x)dx |
|
a |
a |
и по свойству C
.
E. Теорема о среднем Если функция y f (x
b |
b |
f (x)dx Mdx M (b |
|
a |
a |
для определенного интеграла. |
|
) непрерывна на отрезке a;b , то |
|
a) .
существует
c
a;
b
, для которого
b f (x)dx
a
f
(c)(b
a)
.
Действительно, по свойству D:
1 |
|
b |
|
|
|
||
|
|
||
b a |
f (x)dx m; M , но по теореме об области значений непрерывной функции f (x) |
||
a |
|||
|
|
||
E f |
m, M , т.е. функция принимает все значения на отрезке m; M в том числе и число |
||
1 |
|
b |
|
|
|
||
b a |
f (x)dx . |
||
a |
|||
|
|
||
E. Оценка для модуля интеграла. |
|
|
|
|
||||
Если интегрируемы функции y f (x) и y f (x) |
на отрезке a;b , то |
|||||||
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
f (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
Действительно, на отрезке a;b справедливо неравенство |
f (x) f (x) |
|||||||
Тогда по свойству C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
|
b |
b |
|
f (x) dx f (x)dx |
f (x) dx , откуда следует f (x)dx |
f (x) dx . |
|||||
a |
a |
a |
|
|
|
|
a |
a |
3. Интегрирование разрывных функций.
f
(x)
.
h(a), x a, |
b |
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕММА 3. Если функция h(x) 0, x a;b , то h(x)dx 0 . |
||
|
h(b), x b. |
a |
|
|
|
|
|
|
ДОК. Любая интегральная сумма S (h) , соответствующая разбиению , имеет вид
S (h) h( 0 ) x0 |
h( n 1 ) xn 1 |
h(a), 0 a |
h(b), n 1 |
b |
|
||
, где h( 0 ) |
0, 0 a |
и h( n 1 ) |
0, n 1 b |
. |
|||
|
|
|
|
|
|||
Тогда lim S (h) 0 .
0
ЛЕММА 4. Если функция y f (x
определена на a;b и совпадает с
) f
непрерывна на отрезке a;
(x) на интервале a;b , то
b ,
b f
a
а функция |
y f1 (x) |
||
|
b |
|
|
(x)dx |
|
f1 |
(x)dx . |
|
|||
|
a |
|
|
ДОК. Функция h(x) f1 (x) f (x) удовлетворяет условию леммы 1 и f1 (x) f (x) h(x) Тогда по свойству А следует утверждение леммы.
ОПР. Функция y f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке a;b , если существует разбиение x0 , x1 ,..., xn отрезка a;b , для которого функция непрерывна на каждом из интервалов xk ; xk 1 и имеет разрывы первого рода в точках xk .
ТЕОРЕМА 3.
Всякая кусочно-непрерывная функция на отрезке a;b интегрируема. ДОК. По лемме 2 функция интегрируема на каждом отрезке xk ; xk 1 . Тогда
интегрируемость функции на a;b следует из свойства B и конечности числа точек
разрыва. ТЕОРЕМА 4.
.
Если функция
y f (x) 0
кусочнонепрерывна на отрезке
a;b
|
b |
и |
|
|
|
|
a |
f
(x)dx
0
, то
f (x) 0 в конечном числе точек. |
|
|
|
x |
|
|
k 1 |
|
ДОК. Если f ( ) 0 для xk ; xk 1 , то |
|
f (x)dx 0 |
|
||
|
x |
|
|
k |
|
|
b |
и |
|
|
|
|
a |
n |
x |
j 1 |
|
||
f (x)dx |
f |
|
j 1 |
x |
|
|
|
j |
(x)dx
0
,
поскольку хотя бы одно из этих слагаемых положительно, а другие неотрицательны. Таким образом, f (x) 0, x xk ; xk 1
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1)Понятие интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости на отрезке.
2)Достаточное условие интегрируемости на отрезке (включая леммы)
3)Свойства линейности интеграла, аддитивности интеграла по множеству
4)Интегрирование неравенств. Оценка интеграла Римана.
5)Теорема о среднем для интеграла.
6)Интегрирование разрывных функций.