2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_5

Интеграл приводится к рациональному после замены t

tg

x

(универсальная

2

2t

1 t

2

2t

тригонометрическая подстановка), поскольку sin x

, cos x

, tgx

и

2

1 t

2

2

1

t

1

t

dx

2dt

.

1 t

2

Пример 1. Вычислить интеграл

dx

.

sin x cos x

x

t

2

2

Сделаем универсальную замену t tg

и интеграл станет рациональным J

1

dt .

2

t(1 t

)

t

2

1

a

b

c

Разложим дробь в сумму простых дробей:

t(1 t

2

)

t

1 t

1 t

t

2

1

t

2

1

t

2

1

Отсюда a

2

1,

b

1, c

1

и интегрирование дробей дает

1 t

t(1 t)

t(1 t)

t 0

t 1

t 1

t

2

1

2t

результат J

dt

ln t

ln t 1 ln t

1

ln

ln 2 ln tgx c .

t(1 t

2

)

t

2

1

К этому результату, но более простым путем приведет замена t

tgx .

Тогда

dx

dt

ln t

ln tgx C .

sin x cos x

t

Замечание. Если рациональная функция R(u, v) переменных u и v

, обладает свойством

1. Если R( u, v) R(u;v) , то в многочленах не содержится u

в нечетной степени, поэтому

R(u, v) R(u

2

, v) .

2. Если R( u, v) R(u, v) , то функция

R(u, v)

обладает свойству 1 и

u

R(u, v)

R(u2 , v) R(u, v) u R(u2 , v) .

u

3. R( u, v) R(u, v)

u

u

u

, v

u

R

v, v

R

, v

R

R

, v ,т.е. функция R по

v

v

v

v

переменной v удовлетворяет свойству 1 и

u

ˆ

u

; v

2

R

, v

R

.

v

v

R(sin x, cosx)dx

R(

sin x

, cos

2

x)dx рационализируется заменой t tgx , поскольку

cos x

cos

2

x

1

2 и dx

dt

2 являются рациональными функциями переменной t . Функция из

1

t

1 t

примера 1 обладает этим свойством.

Любую рациональную функцию можно представить в виде трех функций, обладающих

свойствам 2) и 3)

R(u, v)

R(u, v) R( u, v)

R( u, v) R( u, v)

R( u, v) R(u, v)

2

2

2

(2u)

(2v)

(3)

sin

5

xdx

Пример 2. Вычислить интеграл

.

cos

4

x

Функция R(u, v)

u5

обладает свойством 2 по переменной u : R( u, v) R(u, v) , поэтому

v4

делаем замену t cos x . Тогда

sin

5

xdx

(1 t

2

)

2

dt

2

1

2

1

2

1

cos

4

x

t

4

1

2

t

4

dt t

t

3t

3 cosx

cos x

3cos

3

c

t

x

Пример 3. Вычислить интеграл

4

dx

2

.

sin

x cos

x

Соответствующая функция R(u, v)

1

обладает свойством 3 R( u, v) R(u, v) . Тогда

u

4

v

2

, ,

x

0; / 2

2. Вычисление интегралов вида sin

x cos xdx с рациональными

Замена

z sin

2

x, dz 2sin x cos xdx может привести интеграл к дифференциальному биному

1

1

1

1

sin 1

x cos 1 xdz

z 2

1

z

2

dz . Интегрируемость бинома возможна в трех случаях:

2

2

1) 1 k Z 2k 1

2)

1

k Z 2k 1 3)

1 1

1

k Z

2

2

2

2

2

Пример 4. Вычислить интеграл cos x

sin xdx , x 0; / 2