2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_3

Ф-02-Лекция 3

Интегрирование рациональных функций.

Тема лекции - вычисление интеграла

P(x)

dx , где P(x), Q(x)

многочлены

Q(x)

П.1 Повторение) Деление многочленов нацело и с остатком. Наибольший общий

делитель двух многочленов.

ОПР. Многочлен P1 (x)

делится нацело на многочлен P2 (x)

или

P2

(x) является делителем

многочлена P1

(x

)

, если существует многочлен S(x) , для которого

P (x) P (x)

S(x) .

1

2

ОПР. Многочлен

P (x)

делится на многочлен

P (x)

с остатком, если найдутся многочлены

1

2

S(x) и

R(x) , для которых P1

(x) P2 (x) S(x) R(x) , причем степень многочлена R(x)

меньше степени многочлена

P2 (x) . Многочлен R(x) называется остатком от деления

многочлена P1 (x) на многочлен P2 (x) , а S(x) - его неполным частным.

ОПР. Многочлен D(x)

называется наибольшим общим делителем многочленов P1 (x) и

P2 (x) , если 1)

D(x)

- общий делитель

P1 (x)

и P2 (x) 2) для любого общего делителя

D1 (x) многочленов P1

(x) и

P2 (x) выполнено условие: D(x) нацело делится на D1 (x) .

Если D(x) наибольший общий делитель многочленов P (x)

и P (x)

, то этим же свойством

1

2

обладает многочлен

D(x) при любом R , т.е. многочлен

D(x) НОД

P , P

1

2

определен с точностью до множителя.

ОПР. Многочлены P1

(x) и P2 (x) взаимно просты, если D(x) 1.

ТЕОРЕМА 1 (о наибольшем общем делителе многочленов)

Если D(x) - наибольший общий делитель многочленов P1 (x) и P2 (x) , то существуют

многочлены T (x) и T (x) , для которых D(x) P (x) T (x) P (x) T

(x) .

1

2

1

1

2

2

ДОК. Приведено в лекции первого семестра.

СЛЕДСТВИЕ.

Если многочлен Q(x) - знаменатель рациональной функции f (x)

P(x)

, разложен на

Q(x)

множители Q(x) Q1

(x) Q2 (x) , где многочлены Q1

(x) и Q2

(x)

взаимно просты, то

P(x)

P(x)

P (x)

P (x)

f (x)

может быть разложена в виде

T (x)

1

2

, где

Q(x)

Q(x)

Q (x)

Q

(x)

2

1

ДОК. Разделим P(x) на

x z1 с остатком P(x) (x z1 )P1 (x) R1

. Тогда R1

P(z1 ) 0 .

ТЕОРЕМА 3. (о разложении многочлена на множители)

Если P(x) an x

n

an 1 x

n 1

... a1 x a0 - многочлен с комплексными коэффициентами,

то имеет место разложение P(x) an x z1 x z2 ... x zn .

Если коэффициенты многочлена действительные, то имеет место разложение

P(x) an x x1

x x2 ... x xm x 2 b1 x c1 x 2 b2 x c2 ... x 2

bk x ck

, где

Всякая правильная рациональная функция f (x)

P(x)

представляется в виде суммы

Q(x)

старшей степени переменной равен 1) разложен на множители

~

~

~

Q(x) Q1 (x) ... Qm (x) Q1 (x) Q2 (x) ... Qk

(x) ,

r

~

2

q

j

где Qi (x) (x xi

)

и Q j (x)

(x

b j x c j

)

взаимно простые многочлены (теорема 3).

i

~

P(x)

m

P (x)

k

P j

(x)

Тогда по следствию из теоремы 1 имеем f (x)

T (x)

i

.

Q)x)

Q i (x)

~

i 1

j 1 Q j

(x)

Многочлен Pi (x)

~

~

ri

разложим по степеням (x xi ) :

степени ri

, ri

с многочленом числителя

P

1

(x)

степени на две единицы меньшей. Проделав деление

j

~

P (x)

конечное число раз, разложим дробь

j

в сумму простейших дробей третьего и

~

Q

j

(x)

5x

4

8x

3

4x

2

2x 4

ПРИМЕР. Разложить дробь

в сумму простейших дробей.

2x 1 x 1

x

2

2x 2

2

5x

4

8x

3

4x

2

2x 4

a

b

c

dx e

РЕШЕНИЕ

2

.

2x

2

x

2

2x

2

1

x 1

(x

1)

x

2

2x 2

1 x 1

2x

Для нахождения коэффициентов d и e достаточно умножить правую и левую части

равенства на x

2

2x 2 и подставить x

1 i d( 1 i) e 2 2i d 2, e 0 .

Коэффициент a определится, если умножить равенство на 2x 1 и подставить x

1

2

a 1. Если умножить равенство на x 1

2

и подставить x 1 c 1 . Последний

коэффициент b получим, подставив в равенство x 0 2 a b c b 0

. Тогда

5x

4

8x

3

4x

2

2x 4

1

1

2x

.

2

2

2x 2

1)

2

x

2

2x 1 x 1 x

2x 1

(x

2x 2

П.4 Интегрирование простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей первого и второго типов производится с помощью

линейной замены в формулах 3),4) таблицы первообразных.

Для интегрирования дробей третьего типа необходимо выделить в числителе

производную знаменателя:

Ax B

dx

1

A(2x b)

dx

2B Ab

dx

2

2

x

2

bx c

2

2

x

bx c

x

bx c

для

I n

dx

(см. лекцию 2). Общий вид дроби четвертого типа сводится к этой

(x

2

a

2

)

n

ПРИМЕР. Вычислить интеграл

xdx

x

2

2

2x 2

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену,

I 2

t

1

I1

t

1

arctgt . Тогда

xdx

t 1

1

arctgt

2(t 2

1)

2

2(t 2 1)

2

x2 2x 2 2

2(t 2 1)

2

x 2

1

arctg x 1 C .

2x 2

2

2 x

2

5x

4

8x

3

4x

2

2x 4

ПРИМЕР. Вычислить интеграл

2

dx

2

x

2x 2

2x

1 x

1

Поэтому

5x 4 8x3 4x 2 2x 4

dx

2x 1 x 1

2

x

2

2x

2

dx

dx

2

2x 2

dx 2

dx

2x 1

x

1

x

2

2x 2

2

x 1

1

1

ln

2x

1

1

ln x

2

2x 2 2arctg(x 1) C .

2

x 1

P Q

P H P Q P

(**)

1

2

1

2

1