2 семестр Лекции Гришин / F-02-Lektsia_1
.docxФ-02-Лекция 1. Неопределенный интеграл
П.1 Понятие неопределенного интеграла.
ОПР.
Пусть задана непрерывная функция на
промежутке
(интервал,
отрезок, полуось, ось)
.
Функция
называется первообразной функции
на
,
если
.
У функции может существовать много первообразных. Например, функции
и
являются первообразными функции
.
Если
функция
на
имеет
первообразную
,
то функция
с любой постоянной
также является первообразной. Справедливо
и обратное утверждение.
ТЕОРЕМА 1 (о структуре множества первообразных)
Пусть
и
две первообразные функции
на
.
Тогда
.
ДОК.
Рассмотрим функцию
.
Если функция
не
постоянная на
,
то
.
Тогда на отрезке
функция
удовлетворяет
теореме Лагранжа
.
Последнее противоречит условию того,
что
и
две первообразные функции
на
и
на
.
Геометрический смысл первообразной.
Пусть
и
-
площадь криволинейной трапеции
.
-
изменение площади при изменении
на
,
.
Если
функция
непрерывна
в точке
,
то
.
Тогда
и
значение одной из первообразных функции
в
точке
равно площади криволинейной трапеции,
построенной на отрезке
.
Механический смысл первообразной.
Если
-
путь, пройденный точкой по оси
,
,
,
- мгновенная скорость точки,
-
ускорение в момент времени
.
Тогда путь, как функция
,
является первообразной скорости, а
скорость – первообразная ускорения.
Например,
если
-
ускорение свободного падения,
,
.
ОПР. Неопределенным интегралом функции на называется множество всех
первообразных функции
на
.
Обозначение
.
Свойства неопределенного интеграла.
Операции дифференцирования и интегрирования обратные в том смысле, что
и
Доказательство
этих формул находится на уровне
определений понятий дифференциала
функции и неопределенного интеграла
(самостоятельно). Таким образом, значки
d и
стоящие рядом друг друга уничтожают. В качестве простейших свойств интеграла, вытекающий из его определения, следует отметить его линейность:
1)
2)
Док.
Обратное
включение
.
П.2 Техника неопределенного интегрирования.
А. Замена переменной.
ТЕОРЕМА 2. (о замене переменной в неопределенном интеграле)
Пусть
функция
имеет непрерывную производную на
отрезке
и
,
а
функция
непрерывна на
.
Рассмотрим две первообразных
и
.Тогда
справедлива формула
.
ДОК.
.
Тогда
.
Пример.
Найти интеграл
.
РЕШЕНИЕ.
Делаем замену
.
Тогда
и, по доказанному,
=
.
Б. Интегрирование по частям.
ТЕОРЕМА 3. (формула интегрирования по частям)
Для
любых двух функций
,
имеющих непрерывные производные
на
,
справедлива формула
.
ДОК.
+
.
Формулу интегрирования по частям записывают обычно в дифференциальной форме:
Пример.
Вычислить интеграл
.
РЕШЕНИЕ.
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
РЕШЕНИЕ.
.
П.3 Таблица первообразных элементарных функций.
Следующая таблица является обращением таблицы производных элементарных функций.
1.
9.
2.
10.
3.
11.
4.
12.
5.
13.
6.
14.
7.
15.
8.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
.
Доказательство 8.
Замена
Заметим, что
.
С учетом положительности
для
используется корень с плюсом, для
-
с минусом . Обои случаи объединяются с
помощью модуля:
.
Доказательство 12.
Замена
Доказательство 15.
Доказательство 21.
УПРАЖНЕНИЕ.
1.
Докажите формулу линейной замены:
2.
Вычислите интеграл
,
используя представление
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Понятие неопределенного интеграла. Теорема о структуре множества первообразных.
2) Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Примеры.
3) Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле. Примеры.
4) Таблица неопределенных интегралов.