2 семестр Лекции Гришин / Matan_lektsia_15

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

(n m) переменных x1, x2 ,...xn , 1, 2 ,..., m .

Теорема 1. Необходимые условия условного экстремума.

Пусть функцияu f (x1, x2 ,..., xn )

имеет условный экстремум при

наличии связей k (x1, x2 ,..., xn )

0, k 1, 2,..., m . Тогда точка x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2024

Размер:

426.34 Кб

Скачать

☆

Ф-02-Лекция 15. Условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение

в области.
1. Условный экстремум.
ОПР. В точке x0 x10 , x20 ,..., xn0	функцияu f (x1, x2 ,..., xn ) имеет условный
максимум
	0	) , удовлетворяющих
	0
(минимум), если для любых x x1, x2 ,..., xn U (x

условиям

k (x1, x2 ,..., xn )

0 ,

k 1,2,...,m

(уравнения связей)

выполняется неравенство

f (x	, x	2	,..., x	n	)
1		2		n

(x	0	, x	0	,..., x	0	)
			2		n
1

, (

f (x	, x	2	,..., x	n	)
1		2		n

(x	0	, x	0	,..., x	0	)
			2		n
1

В отличие от локального экстремума здесь предполагается выполнение

неравенства не для всех x x1, x2 ,..., xn U (x0 ) , а только для тех, которые удовлетворяют системе уравнений связи.

Пример 1. Исследовать функциюu x	2	y	2	на экстремум, если переменные x

и y связаны соотношением x y 1.

РЕШЕНИЕ. Выражая y через x из уравнения связи и подставляя его в функцию, получим

ux2 (1 x)2 2x2 2x x 0,5 . Тогда функция

точке(0,5;0,5) .

1 u

квадратный трехчлен, имеющий минимум в точке

x	2	y	2	на прямой x y 1	имеет условный минимум в

Опр. Функцией Лагранжа задачи условного экстремума называют функцию

F(x1, x2 ,..., xn , 1, 2 ,..., m ) f (x1, x2 ,..., xn ) 1 1(x1, x2 ,..., xn ) ... m m (x1, x2 ,..., xn )

критической для функции Лагранжа.

Докажем теорему для случая m 1. Если частные производные функций f (

(x) не существуют в точке x	0	, то теорема доказана. Если функции f (x) и

дифференцируемы в точке x0 и точка x0 не является стационарной для
			0	) 0 ), то
функции (x) (предположим, что n (x

x) и

(x)

						n 1
d x1 dx1 x2 dx2 ... xn				dxn		0 dxn	xk	dxk .
d x1 dx1 x2 dx2 ... xn				dxn		0 dxn		dxk .
						k 1	x
							n
Тогда дифференциал функции f		примет вид:
n 1	n 1	n 1				n 1
df fxk dxk fxn	dxn fxk dxk fxn		xk		dxk	fxk xk	dxk ,
df fxk dxk fxn	dxn fxk dxk fxn				dxk	fxk xk	dxk ,
k 1	k 1	k 1 x				k 1
			n

где

fxn

или

x x	0

f
x	x
n	n

. Если функция

имеет условный экстремум, то

все коэффициенты при dxk		, k 1, 2,..., n 1			должны быть нулевыми, т.е.
			0,	k 1, 2,..., n		(*)
fx	x
k			k

Уравнения (*) выражают то, что частные производные функции Лагранжа по

переменным x

равны нулю. Частные производные функции Лагранжа по

переменным

равны нулю, поскольку

(x) 0 по уравнениям связи.

F j j

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК условного экстремума.

По данным задачи составляют функцию Лагранжа.

Дифференцируют функцию Лагранжа по переменным x1

, x2 ,..., xn и

приравнивают нулю частные производные.

...

с (n +m)

Полученную систему xi

1,2,...,n

неизвестными

дополняют m

						0			0
4. Пусть x1							,..., xn
x	0	x	0	, x	0	,..., x		0
					2			n
		1

				k	(x	, x	,..., x	) 0
уравнениями связи				k	1	2	n
уравнениями связи					k 1,2,...,m
					k 1,2,...,m
0	0	0	решение расширенной системы. Тогда
, 1	, 2	,..., m	решение расширенной системы. Тогда

критическая точка условного экстремума.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для ответа на вопрос есть ли в найденной критической точке условный экстремум или его нет, требуется дополнительное исследование. Оно состоит либо из выражения части переменных через свободные переменные, подстановку их в выражение функции f и переходу к решению задачи локального экстремума, либо в подстановке дифференциалов зависимых переменных в выражение второго дифференциала функции f и установление знакопостоянства второго дифференциала при любых изменениях свободных переменных, например, по критерию Сильвестра.

Пример 2. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в круг радиуса R.


РЕШЕНИЕ. Пусть x; y , x 0, y 0	координаты вершины прямоугольника. Тогда
нужно найти максимум функции S 4xy при условии, что x		2	y	2	R	2	.
нужно найти максимум функции S 4xy при условии, что x			y		R		.

Функция Лагранжа F(x, y, ) 4xy (x2 y2 R2 ) .

F	4 y 2x
x	4 y 2x


F
F	4x 2 y
y	4x 2 y
y
	x	2	y	2	R	2
	x		y		R

0, 0,

Вычитаем из второго уравнения первое:

(x y)(4 2 ) 0,

4x 2 y 0,

Решением системы в области

x 0, y 0

является тройка

;

; 2

. Из

соображений существования и единственности решения задачи можно

сказать, что решением служит квадрат со стороной

. Формально этот

результат может быть получен так:

d 2 S 8dx dy при 2xdx 2 ydy

x y

0 dy dx и d 2 S 8dx dy 8(dx)2

0 ,

;

; 2

т.е. в точке

максимум.

2. Наибольшее и наименьшее значение функции в области.

Пусть задана функция u f (x , x ,..., x ) в замкнутой области

Rn с границей

D - поверхностью, задаваемой уравнениями k (x1, x2 ,..., xn ) 0 с кусочно-

гладкой функцией (x1 , x2 ,..., xn ) . Это означает, что граница состоит из конечного числа кусков, каждый из которых задается уравнением с дифференцируемой функцией k в левой части. К границе области относятся также ребра, принадлежащие двум и более кускам границы.

Всякая непрерывная на компакте D функция u f (x1, x2 ,..., xn ) принимает на ней наибольшее и наименьшее значения.

ОПР. Число А= min f (x1 , x2 ,..., xn ) называется наименьшим значением функции
x D
f в области D , если 1)	f (x1, x2 ,..., xn ) A	x D 2)	~	~
			x	D : f (x) A .

ОПР. Число В= max f (x1 , x2 ,..., xn ) называется наибольшим значением функции
			x D
в области D			~	~
		, если 1) f (x1, x2 ,..., xn ) B x D 2) x		D : f (x) B .
~	~	могут быть внутренними точками области D или граничными.
Точки x	и x
	~		~
Если точки x			и x внутренние, то они являются критическими точками

локального экстремума функции f и их нахождение связано с поисками стационарных точек или точками, где не существуют частные производные

~	и	~	принадлежат границе D области, то они
функции f . Если точки x		x

являются критическими точками условного экстремума. Количество налагаемых связей зависит от количества кусков поверхностей

k (x1, x2 ,..., xn ) 0 , которым принадлежит эта точка. Все критические точки заносятся в таблицу, в которой вычисляются значения функции f в этих точках. Из полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z sin	2	(x y)
		(x y)
области
D x, y : x 1 y 0
.

РЕШЕНИЕ. Найдем внутренние критические точки функцию:

	z		2sin( x y) cos(x y) 0
		x			,
		z	2sin( x y) cos(x y) 0

		y
Решения системы:
y x k	или y x			k , k Z
			2

Первая серия имеет пересечение с D только при k 0 . Во всех этих точках значение функции равно нулю.

Вторая серия не пересекается с областью D . Граница D содержит три куска: 1) D1 : y 0, x 1;1 2) D2 : y 1 x, x 1;0 3) D3 : y x 1, x 0;1

На первом куске границы z1		sin	2	x , наибольшее ее значение z1,max sin				2	1	,
На первом куске границы z1		sin		x , наибольшее ее значение z1,max sin					1	,
z	0
1,min
На втором куске границы z2		sin	2	(2x 1), x 1;0 . В критической точке
На втором куске границы z2		sin		(2x 1), x 1;0 . В критической точке
x 0,5 , z2,min 0 на границе отрезка z2,max sin						2	1 .
x 0,5 , z2,min 0 на границе отрезка z2,max sin							1 .
На третьем куске границы z3		sin		2	1 функция постоянна. Таким образом,
На третьем куске границы z3		sin			1 функция постоянна. Таким образом,
zmin	0 , zmax sin 2 1.

УПРАЖНЕНИЕ. Приведите пример функции, у которой есть локальный максимум, но в нем функция не принимает своего наибольшего значения.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииu x 2y 2z при условии, что x2 y2 z2 1.

Решение

Составим функцию Лагранжа F x 2y 2z (x									2	y	2	z	2	1) .
Составим функцию Лагранжа F x 2y 2z (x										y		z		1) .
Критические точки:
1 2 x 0							x 1/ 2

2 2 y 0							y 1/
	2 2 z			0
	2 2 z			0			z 1/
Подстановка в уравнение связи:
	1	1	1		1		1	3
	4	1	1			2	1	2
						2

Точки экстремума:

x		1/ 3			x			1/ 3
	1						2
	y	2 / 3	z	3,	y			2 / 3 z	3
						2
	1		1					1
	z	2 / 3			z			2 / 3
							2
	1

, zmin 3,

zmax 3

Геометрическое решение.

Уравнение плоскости (поверхности уровня функции z ):

x 2y 2z c 0		. Расстояние плоскости до начала координат:
d	0 2 0 2 0 c			c	1	c 3

	1 4 4		3

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1.Понятие условного экстремума. Необходимое условие условного экстремума.

2.Метод множителей Лагранжа для нахождения критических точек условного экстремума.

3.Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в

ограниченной замкнутой области.

Соседние файлы в папке 2 семестр Лекции Гришин

#
11.06.2024195.35 Кб0F-02-Lektsia_6.pdf
#
11.06.2024182.28 Кб0F-02-Lektsia_7.pdf
#
11.06.2024380.54 Кб0F-02-Lektsia_8.pdf
#
11.06.2024350.33 Кб0F-02-Lektsia_9.pdf
#
11.06.2024272.9 Кб0Matan_lektsia_14.pdf
#
11.06.2024426.34 Кб0Matan_lektsia_15.pdf