TAU-Lekcii

3

2

Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния Р е ш е н и е . Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x1 и x2. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-

дартная форма)

Откуда матрицы

Собственные числа матрицы A: 1= 1, 2= 2.

Тогда диагональная матрица системы, матрица управления, матрица наблюдения и матрица связи будут

Отсюда получаем уравнения состояний системы в нормальной форме

181

которым соответствует структурная схема системы, приведенная на рис.10.4.

Рис. 10.4. Структурная схема системы в переменных состояния по полюсам

10.5.Управление по состоянию. Системы управления состоянием

Подключение дополнительных контуров обратной связи в многоконтурных системах обеспечивает повышение качества управления. Наиболее полная информация об управляемом объекте содержится в переменных состояния. Управление по состоянию предусматривает введение в структуру системы контуров прямых и обратных связей по переменным состояния объекта управления. При этом задача стабилизации и слежения формулируется как задача поддержания постоянного X* = const или изменяющегося по заданному закону X* (t) состояния объекта управления X* = X* (t).

Изменяющиеся во времени или фиксированные сигналы xi* , определяющие требуемый характер изменения переменных состояния xi , составляют расширенный вектор задания X* = xi* , а ошибка движения объекта управления по состоянию определяется вектором

182

отклонения e = X* X.

Упраление по состоянию, как и управление по выходу объекта управления, может быть разомкнутым: U = F[X*], замкнутым U = F[e], или комбинированным: U = F[e, X*].

Системы с регуляторами состояния относятся к многоконтурным системам и, следовательно, обладают лучшими точностными и динамическими свойствами, чем одноконтурные. Они проектируются для управления как одномерными, так и многомерными объектами управления.

Проанализируем использование линейных регуляторов состояния для решения задач стабилизации и слежения [15].

Рассмотрим задачу стабилизации объекта управления (ОУ) в точке Y* = 0, полагая, что при этом вектор состояния также принимает нулевое значение: X* = 0 (к такому виду задача почти всегда может быть приведена преобразованием координат векторов X и Y).

Простейший регулятор состояния - пропорциональный или модальный регулятор вводит обратные связи по всем переменным xi

(рис. 10.5).

Модальный регулятор реализует пропорциональный закон

где K - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию. Для одномерного объекта управления в качестве координат xi

вектора X можно выбрать, например, фазовые переменные y, y , ..., y(n- 1) , то есть

183

где y(i) = d i y ; n - порядок системы.

dt i

Тогда K = [ k1 k2 ... kn ]. Выражение (10.38) можно записать в скалярной форме

n

u = k ixi . (10.40)

i = 1

Первые члены закона управления (10.40) соответствуют описанию ПД-регулятора выхода при y* = 0.

Таким образом, регуляторы состояния являются обобщением ПД-регуляторов, хотя и не содержат в явном виде дифференцирующих звеньев. Выбор коэффициентов k матрицы обратной связи K обеспечивает получение заданных динамических свойств системы.

В условиях действия на объект управления внешних возмущений F точностные показатели качества системы с пропорциональным регулятором состояния ограничены. Снижение установившихся ошибок достигается введением в состав регулятора контуров интегральных обратных связей (рис. 10.6).

Рис. 10.6. Структурная схема системы с ПИ-регулятором

ПИ-регулятор реализует пропорционально-интегральный закон управления

K

U = K X(1 sI ) , (10.41)

где KI - матрица обратных связей по интегралу от вектора со-

184

стояния.

Комбинированный регулятор позволяет обеспечить компенсацию возмущения за счет прямых связей по возмущающему воздей-

ствию F (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Структурная схема комбинированной системы по возмущающему воздействию

В этом случае закон управления принимает вид

где LF - матрица коэффициентов контура связей по F;

XF - вектор, составленный из возмущения F и его производ-

ных.

Задача слежения рассматривается как задача отработки расширенного вектора задания X* = X* (t). П-регулятор состояния в следящей системе вырабатывает управляющее воздействие, пропорциональное вектору отклонения e = X* X, то есть реализует закон управления

Для одномерного объекта управления с вектором состояния (10.39) выражение (10.43) можно переписать в скалярной форме

где xi* = (y(i-1))* .

185

ПИ-регулятор дополняет структуру системы интегральными связями:

Эффективная компенсация ошибок, вызванных возмущающим воздействием F и изменениями задания X* достигается использованием комбинированного управления (рис. 10.8)

где LX - матрица коэффициентов контура прямых связей по X*; X* - расширенный вектор задания;

LF - матрица коэффициентов контура связей по F;

XF - вектор, составленный из возмущения F и его производ-

ных.

Рис. 10.8. Структурная схема комбинированной системы

Параметры регуляторов (коэффициенты прямых и обратных связей) определяются как функции параметров математической модели объекта управления. Поэтому при управлении нестационарным объектом возникает необходимость изменения параметров регулятора в процессе работы системы. Задача настройки регулятора осложняется, когда параметры объекта управления неизвестны или неконтролируемо изменяются. Для управления такими объектами используются адаптивные регуляторы, параметры которых настраиваются с помощью блока адаптации (БА, рис. 10.9).

186

Рис. 10.9. Структурная схема адаптивной системы

Адаптивный регулятор состояния комбинированного типа содержит настраиваемые контуры обратных связей по состоянию X и прямых связей по расширенному вектору задания X*. Закон управления такого регулятора

коэффициентами (параметрами).

Функции блока адаптации заключаются в автоматической настройке параметров регулятора (10.47).

В практике адаптивных систем получили распространение два подхода к настройке параметров.

Первый из них предусматривает включение в состав системы блока идентификатора, осуществляющего вычисление неизвестных параметров объекта управления. Тогда после определения вектора

Второй подход (безидентификационный) позволяет осуществить настройку контура прямых связей части регулятора (10.47). При этом матрица обратных связей рассчитывается по номинальному значению

187

формации о параметрических ошибках регулятора в блоке адаптации используется сигнал обратной связи по отклонению:

Блок адаптации осуществляет изменение параметров регулятора до тех пор, пока в системе не установится нулевое значение сигнала обратной связи Ue и, следовательно, значение e будет равняться нулю.

10.6. Оценивание координат состояния систем

Оценивание координат состояния систем требуется в случае необходимости введения в систему автоматического управления корректирующего сигнала от какой-либо координаты состояния xi, которая не измеряется как физическая.

Для этого служит косвенная оценка неизмеряемых координат состояния системы путем введения так называемого “наблюдателя” по Калману [2]. Метод оценки вектора состояния дает возможность “восстановить” неизмеряемые координаты вектора состояния в виде

X X и использовать “восстановленный” вектор состояния системы

для решения задачи, например, модального синтеза в пространстве состояний.

Схема оценивания координат состояния реализуется в виде дополнительной динамической аналоговой модели - наблюдателя.

Для получения алгоритма наблюдателя Калмана запишем в век- торно-матричной форме уравнения объекта управления

и управляющее воздействие

U = M + FG , (10.51)

X

где G - задающее воздействие;

188

A, B, M, F - матрицы коэффициентов. Выходные координаты системы задаются в виде

Y = CX .

Оценка координат состояния системы наблюдателем формируется следующим образом:

где P - тоже матрица коэффициентов.

Рассматривая совместно уравнения (10.50), (10.51) и (10.52), получим

Из полученных уравнений видно, что при использовании наблюдателя порядок всей системы увеличивается до 2n, тогда как n - число координат, которые можно использовать для управления системой, сохраняется.

Характеристическое уравнение системы с наблюдателем имеет

вид

Для оценки точности работы наблюдателя перейдем к новым

координатам в виде X = X . Вычитая (10.54) из (10.53), получаем

X

= AX PCX (A PC) = A[ X ] PC[ X ].

X X X X

189