5. Оценка рассеяния экспериментальных данных значением коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции есть показатель тесноты группирования экспериментальных данных относительно принятой модели. На практике часто применяет коэффициент корреляции Пирсона, который характеризует существование линейной зависимости между двумя величинами X и Y, и определяется следующей формулой (в случае распределения результатов измерений вдоль некоторой прямой):

(8)

Однако существует понятие коэффициента множественной корреляции, расчетная оценка которого правомерна для любых многофакторных зависимостей, в том числе и для сложных нелинейных однофакторных зависимостей. Если используемая в качестве модели функция есть однозначная функция x, т.е. любому заданному x соответствует лишь одно определенное значение , то:

, (9) где - сумма квадратов модели регрессии

(10)

Принято считать, что если коэффициент множественной регрессии , то функция аппроксимации выбрана верно.

3. Выполнение работы

Для снятия экспериментальных данных собрали схему измерения:

Рисунок 3. - Схема измерения

Изменяя расстояние от дальномера (сначала отдаляя, затем приближая) до препятствия и измеряя его с помощью рулетки, заполнили первые 3 столбца таблицы 1.

Для каждой группы измерений (отдаляя, приближая) рассчитали средние значения на основании измерений, затем рассчитали усредненные показания дальномера как среднее между измерением при отдалении и при приближении, заполнили 4 столбец таблицы 1.

Таблица 1 - Результаты совместных измерений

	Установленное расстояние, D [см]	Показания дальномера		Усредненные показания дальномера, 𝑋ср, [x], В
№		Выходной параметр датчика при увеличении расстояния, [x], В	Выходной параметр датчика при уменьшении расстояния, [x], В		Предел измерения осциллографа [x], В
1	20	1,21	1,08	1,145	1,00
2	23	1,28	1,32	1,300	1,00
3	26	1,51	1,48	1,495	1,00
4	29	1,68	1,64	1,660	1,00
5	32	1,84	1,88	1,860	1,00
6	35	2,00	2,00	2,000	1,00
7	38	2,21	2,12	2,165	1,00
8	41	2,32	2,24	2,280	1,00
9	44	2,52	2,56	2,540	1,00
10	47	2,64	2,70	2,670	1,00
11	50	2,82	2,84	2,830	1,00
12	53	3,11	3,00	3,055	1,00
13	56	3,21	3,20	3,205	1,00
14	59	3,36	3,32	3,340	1,00
15	62	3,56	3,52	3,540	1,00
16	65	3,72	3,72	3,720	1,00
17	68	3,88	3,96	3,920	1,00
18	71	4,08	4,08	4,080	1,00
19	74	4,28	4,28	4,280	1,00
20	77	4,48	4,40	4,440	1,00
21	80	4,64	4,6	4,620	1,00

Построим график зависимости усредненного выходного параметра дальномера от устанавливаемого расстояния

График 1. Зависимость значения на дальномере от расстояния

Согласно графику, можно предположить, что функциональная зависимость имеет линейный вид. Такую функцию можно описать формулой вида , степень аппроксимирующего полинома равна единице.

Методом наименьших квадратов вычислим значения коэффициентов полинома. Подставив полученные из опыта числовые значения и , в выбранную для аппроксимации функцию, получим систему уравнений.

Пусть система условных уравнений имеет вид:

,

тогда невязки будет иметь следующий вид:

.

Найдем оценки величин и исходя из следующий условий МНК:

Запишем систему нормальных уравнений (получим их из условия минимума SSE):

В обозначениях Гаусса нормальные уравнения принимают более простой вид:

В нашем случае: n=21; [x]=1050; [y]=59,754; [xx]=59430; [xy]=3376,191

Решим полученную СЛАУ методом Крамера.

D=145530 – система имеет единственное решение;

A= ; B=

Искомая аппроксимирующая функция, полученная с помощью МНК:

Построим график аппроксимирующей функции, на этом же графике отобразим измеренные значения.

График 2. Аппроксимация результатов совместных измерений

Оценим точность приближения.

Оценка дисперсии условных уравнений вычисляется по формуле:

Теперь оценим погрешности полученных результатов:

;

Оценка рассеяния экспериментальных данных значением коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции Пирсона:

Значение коэффициента корреляции Пирсона близко к 1, значит зависимость между данными при совокупных измерениях очень близка к линейной.

Коэффициент множественной регрессии:

Коэффициент множественной регрессии – функция аппроксимации выбрана верно.

Рассчитаем доверительные границы погрешности определения коэффициентов полинома, доверительная вероятность 95%.

Запишем результат:

, с доверительной вероятностью 95%.

4. Вывод

В этой лабораторной работе мы провели совместные измерения и обработали их результаты, получили градуировочную характеристику дальномера и оценили погрешности совместных измерений.

В ходе выполнения задания лабораторной работы мы отметили, что с увеличением расстояния показания дальномера увеличиваются. Это связано с особенностями нашего прибора, а именно дальномер HC-SR04.

HC-SR04 – ультразвуковой датчик расстояния. Характеристики:

Питание: 5V.

Рабочий ток: 15 мА.

Звуковая частота: 40 кГц.

Угол измерения: 15 градусов.

Диапазон измерения: от 2 см до 4 м.

Точность: ~1 мм при грамотной фильтрации.

После чего мы перешли к обработке наших результатов.

Мы предположили, что аппроксимирующая функция подчиняется линейному закону. Методом наименьших квадратов получили коэффициенты аппроксимирующего полинома, аппроксимирующая функция имеет вид:

Коэффициент корреляции Пирсона ( ) и коэффициент множественной регрессии ( ).Принято считать, что если коэффициент множественной регрессии 𝜌𝑦𝑦̂>0,9, то функция аппроксимации выбрана верно.

И, наконец, мы нашли 95% доверительные интервалы для коэффициентов аппроксимирующего полинома:

,