ЧМ_3

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра «Информатика»

Лабораторная работа №3

«Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов»

по дисциплине

«Численные методы»

Выполнил:

Проверил: _________

Москва, 2023 г.

1. Индивидуальное задание

Индивидуальное задание представлено на рисунке №1

17

22,24,26,28,30,32

Номера узлов
22	0.6	-0,939	-0,64
24	0.8	-1,286	-0,726
26	1.0	-0,266	0,634
28	1.2	1,12	2,44
30	1.4	1,506	3,326
32	1.6	0,526	2,926

Рисунок №1 – Индивидуальное задание

2. Задание для решения задачи аппроксимации

Для решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов выберем функцию y(x), заданную таблицей 1:

Таблица 1

xi	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
yi	-0,939	-1,286	-0,266	1,12	1,506

3. Линейная аппроксимация.

Значения элементов матрицы Грамма и столбцов свободных членов представлены в таблице 2:

Таблица 2

i	xi	yi	xi*yi	xi2
0	0.6	-0,939	-0,5634	0,36
1	0.8	-1,286	-1,0288	0,64
2	1.0	-0,266	-0,266	1,0
3	1.2	1,12	1,344	1,44
4	1.4	1,506	2,1084	1,96
5	1.6	0,526	0,8416	2,56
Σ	6,6	0,661	2,4358	7,96

Составим системы нормальных уравнений:

Для линейной функции P1(x)=A0+A1*x система нормальных уравнений примет вид (линейная аппроксимация):

6,6А0 +7,96А1 = 2,4358

6А0 + 6,6А1 = 0,661

Решим систему уравнений:

Получим коэффициенты А0 = -2.575 и A1 = 2.441, тогда полином первой степени будет таким:

P1(x) = -2.575 - 2.441*x

4. Аппроксимация с помощью математического пакета Mathcad

Осуществить аппроксимацию таблично заданной функции многочленом разной степени. В этом примере рассмотрено использование функций linfit(x,y,f), где x,y – соответственно векторы значений аргументов и функции, а f – символьный вектор базисных функций. Использование этой функции позволяет определить вектор коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов и далее невязку – среднеквадратическую погрешность приближения исходных точек к аппроксимирующей функции cko. Степень аппроксимирующего многочлена задается при описании символьного вектора f. Вектор s представляет собой набор аппроксимирующих коэффициентов, что позволяет получить аппроксимирующую функцию в явном виде.

Рисунок №2 – аппроксимация с помощью математического пакета

Вывод: Среднеквадратическая погрешность аппроксимации функции полиномом n-ой степени на заданном интервале зависит от свойств функции и распределения узлов интерполяции

В частности, если функция является достаточно гладкой и узлы интерполяции равномерно распределены на заданном интервале, то среднеквадратическая погрешность может быть близка к нулю при увеличении степени полинома. Однако, если функция имеет разрывы или особенности, то даже высокостепенный полином может не дать достаточно точного приближения.

Таким образом, среднеквадратическая погрешность аппроксимации полиномом 5-ой степени зависит от свойств функции и распределения узлов интерполяции, и не всегда бывает близка к нулю. В общем случае необходимо оценивать погрешность для конкретной функции и распределения узлов интерполяции.