1 курс / 1 курс 2 семестр / контрольные / контрольная работа 1 курс 2 семестр

Задача 1.

Взяты два случайных числа в диапазоне от 0 до 10. Какова вероятность того, что первое число окажется меньше 9, но при этом больше, чем второе число в квадрате?

Задача 2.

Кидаются два четырехгранных кубика. Результат первого броска возводится в степень результата второго броска. Найти распределение случайной величины числа получаемых очков, её математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратичное отклонение σ.

Дополнительный вопрос:

Оценить, как изменится распределение и все его параметры M, D, σ, если человек будет бросать сразу обе кости, а затем позволять одну из степеней другой так, чтобы получить максимальный из него результат.

Задача 3.

В руках у игрока пять двухцветных дисков: одна сторона - синяя, другая - красная. Если после броска этих дисков выпадает больше синих сторон, чем красных - это будет считаться удачей. Построить биномиальное распределение числа удач за 4 броска дисков. Найти математическое ожидание M и дисперсию D случайной величины "число удач".

Дополнительный вопрос:

Записать биномиальное распределение числа удач за большое число бросков, найти его математическое ожидание M и дисперсию D.

Задача 4.

На производстве необходимо получать диски диаметра от 190 до 200 мм. Рабочий станок отлаживается по старой схеме и выдает диски со средним диаметром 197 мм и среднеквадратичным отклонением 5 мм. Один из инженеров предлагает перенастроить станок на средний размер детали 196 мм, а второй предлагает оставить станок на старое, за счет чего среднеквадратичное отклонение диаметра выпускаемых дисков уменьшится до 4.5 мм. Оценить, какую выгоду даст каждый из способов по сравнению с изначальным вариантом, и какой из двух вариантов лучше выбрать.

Задача 5.

Круглое пространство плотно заполнено N кругами. Какова вероятность того, что точка попадает в один из внутренних кругов пространства, если она ставится в случайное место пространства. Решить задачу для N = 2, 3, 4.

Дополнительный вопрос:

Каков должен быть радиус кругов для N = 2, 3, 4, чтобы вероятность попадания точки во внутренний круг стала равна 50%?