Sam

Решение y = '(x) уравнения F (x; y; y0) = 0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение y = '(x), но не совпадающее с ним в сколь

Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнения (3), надо исключить y0 из уравнений (1) и (2). Полученное уравнение Ã(x; y) = 0 называется уравнением дискриминантной кривой. Каждую ветвь дискриминантных кривых надо проверить, является ли она решением уравнения (1), и если является, то будет ли это решение особым, т. е. касаются ли его в каждой точке другие решения.

Если семейство кривых ©(x; y; C) = 0, являющихся решениями уравнения F (x; y; y0) =

0, имеет огибающую y = '(x), то эта огибающая является особым решением того же уравнения. Если функция © имеет непрерывные первые производные, то для отыскания огибающей надо исключить C из уравнений

и проверить, будет ли полученная кривая огибающей, т. е. касаются ли ее в каждой точке кривые семейства.

21

Исключаем y0 из уравнений (3) и (5). Из (5) имеем y0 = 1; подставляя это в (3), получаем уравнение дискриминантной кривой

Проверим, будет ли кривая особым решением. Для этого сначала проверяем, является ли она решением уравнения (3). Подставляя (6) в (3), получаем тождество x + 1 = x + 1. Значит, кривая (6) решение.

Теперь проверим, является ли это решение особым, т. е. касаются ли его в каждой точке другие решения. Пишем условия касания кривых y = y1(x) и y = y2(x) в точке с абсциссой x0:

Для решений (4) и (6) эти условия принимают вид ex0¡C + C = x0 + 1, ex0¡C = 1. Из второго равенства имеем C = x0; подставляя это в первое равенство, получаем

1 + x0 = x0 + 1. Это равенство справедливо при всех x0. Значит, при каждом x0

решение (6) в точке с абсциссой x0 касается одной из кривых семейства (4), а именно той кривой, для которой C = x0.

Итак, в каждой точке решение (6) касается другого решения (4), не совпадающего

с ним. Значит, решение (6) особое.

Второй способ. Найдем огибающую семейства кривых (4). Дифференцируя (4)

Исключим C из уравнений (4) и (8). Из (8) следует, что C = x. Подставив C в (4), найдем кривую

22

Условия касания этой кривой с кривыми семейства (4) были проверены ранее. Итак, кривая (9) является огибающей семейства интегральных кривых (4) и, следовательно, особым решением дифференциального уравнения (3).

Найти особые решения уравнений (если они существуют).

Найти решение уравнений.

23

Найти общее решение.

1.2y000 + 3y00 ¡ 4y0 ¡ y = 3 sh x.

2.y000 + y = sh x + 3x.

3.y000 + 49y0 = 14e7x ¡ 49(cos 7x + sin 7x).

4.y00 ¡ 4y0 + 8y = ex(5 cos x + 3 sin x).

5.y000 + 2y00 ¡ 3y = 5 ch x ¡ 3.

6.y000 ¡ 4y00 + 5y0 ¡ 2y = (16 ¡ 12x)e¡x.

7.yIV ¡ y000 = 5(x + 2)2.

8.y000 + 2y0 ¡ 4y = 3x + ex.

9.y00 + 5y0 = 50 sh 5x.

10.y00 + 2y0 + 5y = ¡17 sin 2x.

11.yIV ¡ y00 = 3 + 2 ch x.

12.y00 + 6y0 + 13y = e¡3x cos 5x.

13.y000 ¡ 3y0 + 2y = (4x + 9)e2x.

14.yIV ¡ 4y00 = x + sh 2x.

15.y00 + y = 2ex ¡ 6 cos x + 2 sin x.

16.y000 + 3y00 + 2y0 = 3x2 + 2x.

17.y000 ¡ 8y = 2x + xe2x.

18.y000 ¡ y00 ¡ 4y0 + 4y = (7 ¡ 6x)ex.

19.y00 ¡ 3y0 = 2 ch x.

20.y00 + 4y = x cos 2x + 7x.

21.y000 ¡ y0 = x2 + x.

22.y00 + 6y0 + 13y = e¡3x cos x.

23.y000 ¡ 13y00 + 12y0 = 18x2 ¡ 39.

24.y000 + 4y0 = 32 cos 3x + 4e2x ¡ 8 sin 2x.

24

25.y000 ¡ 3y0 = 3x2 ¡ 2x + 1.

26.y00 + 25y = 50e5x ¡ 20 cos 5x ¡ 102 sin 5x.

27.y000 ¡ y00 = 4x2 ¡ 3x + 2.

28.y000 + y00 ¡ y0 ¡ y = (8x + 4)ex.

29.y00 + 5y = (p5)x + xep5x.

30.y00 + 2y = (p2)x + x sh p2x.

Решить задачу Коши.

1.y00 ¡ 4y0 + 8y = ex(5 cos x + 3 sin x), y(0) = 0, y0(0) = 0.

2.y00 + 5y0 = sh 5x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

3.y00 + 2y0 + y = cos x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

4.y00 ¡ 2y0 = ex(x2 + x ¡ 3), y(0) = 0, y0(0) = 0.

5.y00 + 5y0 = 50 sh 5x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

6.y00 ¡ 6y0 + 9y = x2 ¡ x + 3, y(0) = 4=3, y0(0) = 1=27.

7.y00 + 5y0 + 6y = 12 cos 2x, y(0) = 1, y0(0) = 1.

8.y00 + 2y0 + 5y = ¡17 sin 2x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

9.y00 + y = 2 cos x, y(0) = 1, y0(0) = 0.

10.y00 ¡ y0 = 5x + cos x, y(0) = 0, y0(0) = 1.

11.y00 + 6y0 + 13y = e¡3x cos 5x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

12.y00 + 6y0 + 9y = 2 sin x + 9x, y(0) = 1=3, y0(0) = 5.

13.y00 + 25y = 50e5x ¡ 20 cos 5x ¡ 102 sin 5x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

14.y00 + 4y0 ¡ 12y = e2x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

15.y00 + 3y0 = 3xe¡3x, y(0) = 1, y0(0) = 8=3.

16.4y00 ¡ 8y0 + 3y = 6x2 ¡ 10x ¡ 1, y(0) = 0, y0(0) = 0.

17.y00 + 6y0 + 9y = e3x cos x, y(0) = 0, y0(0) = 1.

18.y00 ¡ y0 = x2, y(0) = 1, y0(0) = 1.

19.y00 ¡ y0 = 2(1 ¡ x), y(0) = 1, y0(0) = 1.

20.y00 + 4y = sin 2x + 1, y(0) = 1=4, y0(0) = 0.

21.y00 ¡ 10y0 + 25y = (x + 5)e5x, y(0) = 0;8, y0(0) = 1.

22.y00 ¡ 6y0 + 9y = (2x ¡ 1)e3x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

23.y00 + 6y0 + 9y = 10e¡3x, y(0) = 3, y0(0) = 2.

24.y00 + 3y0 + 2y = x3e2x, y(0) = 0, y0(0) = 1.

25

25.2y00 ¡ y0 = 1, y(0) = 0, y0(0) = 1.

26.y00 + 6y0 + 9y = e¡3x, y(1) = 1, y0(1) = e¡3.

27.y00 + 5y = (p5)x + xep5x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

28.y00 + 2y = (p2)x + x sh p2x, y(0) = 0, y0(0) = 0.

29.y00 ¡ 2y0 = 2ex, y(1) = 1, y0(1) = e¡3.

30.y00 + 4y = x, y(0) = 1, y0(¼4 ) = ¼2 .

Найти общее решение.

Найти общее решение уравнений, предворительно найдя частное решение в виде sin ax; cos ax; полинома или показательной функции eax

1.(ex + 1)y00 ¡ 2y0 ¡ exy = 0

2.(2x + 1)y00 + 4xy0 ¡ 4y = 0.

3x(x ¡ 1)y00 ¡ (2x ¡ 1)y0 + 2y = 0:

26

4.xy00 ¡ (2x + 1)y0 + (x + 1)y = 0.

5.x(x ¡ 1)y00 ¡ xy0 + y = 0.

6 (2x + 1)y00 + (4x ¡ 2)y0 ¡ 8y = 0.

7.x2y00 ln x ¡ xy0 + y = 0.

8.xy00 ¡ (x + 1)y0 ¡ 2(x ¡ 1)y = 0.

9.xy00 ¡ (2x + 1)y0 + 2y = 0.

10.x(2x + 1)y00 + 2(x + 1)y0 ¡ 2y = 0.

11.x(x + 4)y00 ¡ (2x + 4)y0 + 2y = 0.

12.y00 ¡ y0 tg x + 2y = 0.

13.x(x2 + 6)y00 ¡ 4(x2 + 3)y0 + 6xy = 0.

14.(x2 + 1)y00 ¡ 2y = 0.

15.(x2 + 1)y00 ¡ 2y = 0.

16 (1 + x2)y00 + 3xy0 ¡ 3y = 0.

17.2x(x + 2)y00 + (2 ¡ x)y0 + y = 0.

18.(x2 ¡ 3x)y00 + (6 ¡ x2)y0 + (3x ¡ 6)y = 0.

19.x2y00 + 4xy0 + 2y = 0.

20.xy00 ¡ (2x + 1)y0 + 2y = 0.

21.(1 + x2)y00 + 2xy0 ¡ 6x2 ¡ 2 = 0.

22.x2(ln x ¡ 1)y0 ¡ xy0 + y = 0.

23.x(x + 4)y00 ¡ 3xy0 + 3y = 0.

24.(x3 ¡ 3x2 + 1)y00 ¡ (x3 ¡ 6x + 1)y0 + (3x2 ¡ 6x)y = 0.

25.xy00 ¡ (2x + 1)y0 + 2y = 0.

26.(1 ¡ 2x2)y00 + 2y0 + 4y = 0.

27.(3x + 2x2)y00 ¡ 6(1 + x)y0 + 6y = 6.

28.y00 + 2xy0 ¡ 2y = 0.

29y00 + (tg x ¡ 2 ctg x)y0 + 2 ctg2 x ¢ y = 0

30(1 + x2)y00 + xy0 ¡ y = 0.

Решить систему уравнений x = Ax для заданной матрицы A.

27

28

Для данных систем указать вид частного решения с неопределенными коэффициентами (числовые значения коэффициентов не находить).

29