mekhanika_i_molekulyarka

A = p (V2 − V1 ),

где V1 и V2 – начальный и конечный объем газа. Уравнение состояния газа до и после нагревания

pV1 = mμ RT1 и pV2 = mμ RT2 .

Вычитая из этого уравнения первое, найдем

p (V2 -V1 ) = mRμ (T2 - T1 ), следовательно,

A = mμ R × DT = 2,6 кДж.

Подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии U и на совершение работы А:

Q = U + A ,

отсюда

U = Q − A = 6,5 кДж.

Задача 2. В цилиндре с площадью основания 100 см2 находится воздух при температуре 17 0С. На высоте 50 см от основания цилиндра расположен лег- кий поршень, на котором лежит гиря весом 50 кГ. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на 50 0С? Атмосферное давление 760 мм рт.ст.

81

Ре ш е н и е

Впроцессе нагревания газ расширяется и совершает работу по преодоле- нию веса груза и силы атмосферного давления, действующих на поршень. Так как эти силы постоянны, то при достаточно медленном нагревании газ будет расширятся изобарически и его работу можно вычислить

A = p (V2 − V1 ).

При равновесии поршня давление р уравновешивается атмосферным дав- лением рА и давлением, создаваемым гирей весом Р0:

Задача 3. В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого из- меняется следующим образом: в процессе 1-2 увеличивается давление при посто- янном объеме V; в процессе 2-3 увеличивается объем при постоянном давлении P1; в процессе 3-4 увеличивается объем при постоянной температуре T3; в про- цессе 4-1 газ возвращается в первоначальное состояние при постоянном давлении Р2. Представить на графиках изменение состояния газа в координатах р, V; р, Т; V, Т. Показать, при каких процессах газ получает (отдает) теплоту. Как при этом изменяется температура и какая совершается работа?

Р е ш е н и е

На графике изменения состояния газа в координатах р, V участок 1-2 – изо- хорный процесс: температура увеличивается, происходит поглощение теплоты, работы газ не совершает. Участок 2-3 – изобарное расширение. Температура уве- личивается (изотерма, на которой лежит точка 3, соответствует большей темпе-

82

ратуре, чем изотерма, на которой лежит точка 2), происходит поглощение тепло- ты, газ совершает работу. Участок 3-4 – изотермическое расширение: температу- ра остается постоянной, происходит поглощение теплоты, газ совершает работу. Участок 4-1 – изобарическое сжатие: температура уменьшается (изотерма, на которой лежит точка 4 соответствует большей температуре, чем изотерма, на которой лежит точка 1, происходит выделение теплоты, работа – отрицательная.

Задача 4. Азот, занимавший при давлении р1 = 2 ×105 Па объем V1 = 5 л, расширяют до объема 8 л, при этом давление падает до значения р2 = 105 Па. Процесс происходит сначала по изотерме, затем – по изохоре. Определить работу сил давления газа, изменение внутренней энергии и количество поглощенной теплоты при этом переходе.

При переходе из состояния 1 в состояние 2 надо рассмотреть каждый из указанных процессов отдельно, тогда

Изменение внутренней энергии не зависит от процесса и в любом случае

Используя уравнение Менделеева– Клапейрона для состояний 1 и 2, полу-

чим

DU = i (p2V2 - p1V1 ) = -500 Дж. 2

Работа газа при изотермическом расширении

83

Учитывая, что Аа 2 = 0, находим А12 = А1а = 470 Дж. Для изотермического процесса (участок 1-а)

Q1a = A1a = 470 Дж; U1a = 0 .

Для изохорического процесса (участок а-2)

Qa2 = U a 2 = U12 = −500 Дж.

Общее количество теплоты

Q12 = Q1a + Qa2 = 470 + (− 500) = −30 Дж.

Знак минус показывает, что газ отдавал теплоту окружающим телам.

Задача 5. 1 кг воздуха при 20 0С при начальном давлении 9,8·104 Па сжима- ется до давления 9,8·105 Па. Определить работу, которая производится при сжа- тии воздуха, если сжатие идет при постоянной температуре.

Задача 6. Некоторая масса азота при давлении 1 атм имела объем 5 л, а при давлении 3 атм – объем 2 л. Переход от начального к конечному состоянию был сделан в два этапа: сначала по изохоре, а затем по изобаре. Определить измене- ние внутренней энергии, количество теплоты и произведенную работу.

84

1) При изохорном процессе вся теплота идет только на изменение внутрен- ней энергии, работа при изохорном процессе не совершается, т.е.

A1−2 = 0.

2) При изобарном процессе на основе 1 начала термодинамики теплота идет как на изменение внутренней энергии, так и на работу:

85

Общее количество теплоты, затраченное на нагревание смеси из аргона и кислорода, найдем как сумму теплоты, затраченной на нагревание каждого газа в отдельности, а число молей смеси – как сумму молей аргона и кислорода, тогда

О т в е т: 1,47.

9. Внутренняя энергия. Молярная и удельная теплоемкости газа.

Первое начало термодинамики

Задачи

9-1. Молекула газа состоит из двух атомов, разность удельных теплоемко- стей газа при постоянном давлении и постоянном объеме равна 260 Дж/кг·К. Найти молярную массу газа и его удельные теплоемкости ср и сV .

9-2. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V = 5 л. Вычислить теплоемкость этого газа при постоянном объеме.

9-3. Трехатомный газ под давлением р = 240 кПа и температуре t = 20 0С занимает объем V = 10 л. Определить теплоемкость этого газа при постоянном давлении.

9-4. Кислород массой 200 г занимает объем V1 = 100 л и находится под дав- лением р1 = 200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема V2 = 300 л, а затем его давление возросло до р3 = 500 кПа при неизмен-

86

ном объеме. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

9-5. Газовая смесь состоит из азота массой 3 кг и водяного пара массой 1 кг. Принимая эти газы за идеальные, определить удельные теплоемкости ср и сV газовой смеси.

9-6. Азот массой т = 0,1 кг был изобарически нагрет от температуры Т1 = 200 0К до температуры Т2 = 400 0К. Определить работу, совершенную газом, полученную им теплоту и изменение внутренней энергии азота.

9-7. Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества ν = 0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ полу- чил теплоту Q = 800 Дж? Температура водорода Т = 300 0К.

9-8. Некоторая масса азота при давлении 1 атм. имела объем 5 л, а при дав- лении 3 атм. – объем 2 л. Определить изменение внутренней энергии, количество теплоты и произведенную работу при переходе из первого состояния во второе: 1) сначала по изохоре, затем по изобаре; 2) сначала по изобаре, затем по изохоре; 3) сначала по адиабате, затем по изохоре. Объяснить, почему результаты расче- тов в случаях 1) и 2) различны.

9-9. Азот, занимающий при давлении 105 Па объем V1 = 0,01 м3 расширяет- ся вдвое. Найти конечное давление и работу, совершенную газом при: 1) изоба- рическом; 2) изотермическом; 3) адиабатическом процессах.

9-10. Определить работу расширения, количество теплоты и изменение внутренней энергии 7 кг водорода при постоянном давлении, если в процессе нагревания температура газа повысилась на 200 0С.

9-11. Идеальный газ расширяется изотермически от объема V1 = 0,01 м3 до

3) количество полученного газом тепла Q.

9-12. При изобарическом нагревании от 00 до 100 0С моль идеального газа поглощает Q = 3,35 кДж тепла. Определить: 1) приращение внутренней энергии газа U; 2) работу, совершаемую газом.

9-13. Моль идеального газа, имевший первоначально температуру Т1 = 290 0К, расширяется изобарически до тех пор, пока его объем не возрастет в 2 раза. Затем газ охлаждается изохорически до первоначальной температуры Т1. Определить: 1) приращение внутренней энергии газа U; 2) работу А, совершае- мую газом; 3) количество полученного газом тепла Q.

9-14. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту при его изобари- ческом нагревании, чтобы газ совершил работу А = 2 Дж?

9-15. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагревали на Т = 720, сообщив ему количество тепла Q = 1,6 кДж. Найти совершенную газом работу, приращение его внутренней энергии и величину γ = Ср/СV.

9-16. Два моля идеального газа при температуре Т1 = 300 0К охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в 2 раза. Затем его изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала

87

равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощенного газом в данном процессе.

9-17. Кислород занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением р1 = 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 и3, а затем при постоянном объеме до давления р3 = 500 кПа. Построить график про- цесса и найти: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу.

9-18. Смесь двух газов состоит из гелия массой т2 = 5 г и водорода массой т2 = 2 г. Найти отношение теплоемкостей Ср/СV этой смеси.

9-19. В сосуде объемом 6 л находится при нормальных услових двухатом- ный газ. Определить теплоемкость сV этого газа при постоянном объеме.

9-20. Водород занимает объем V1 = 1,5 м3 и находится под давлением 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р2 = 500 кПа. Построить график этого процесса и найти изменение внутренней энергии газа.

9-21. Вычислить удельные теплоемкости газа ср и сV, зная , что его моляр- ная масса μ = 4·10–3 кг/моль и отношения теплоемкостей Ср/СV = 1,67.

9-22. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при тем- пературе 300 0К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совер- шенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

9-23. В бензиновом автомобильном моторе степень сжатия горючей смеси равна 6.2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре t1 = 15 0С. Найти тем- пературу t2 горючей смеси в конце такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный идеальный газ. Процесс считать адиабатическим.

9-24. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от р1 = 50 кПа до р2 = 0,5 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление р3 газа в конце процесса.

9-25. Водород массой 40 г, имевший температуру 300 0К, адиабатически расширился, увеличив объем в 3 раза. Затем при изотермическом сжатии объем газа уменьшился в 2 раза. Определить работу, совершенную газом и конечную температуру газа.

9-26. Кислород массой 250 г, имевший температуру Т1 = 200 0К, был адиа- батически сжат. При этом была совершена работа, равная 25 Дж. Определить конечную температуру газа.

9-27. В баллоне при температуре Т1 = 145 0К и давлении р1 = 2 МПа нахо- дится кислород. Определить температуру Т2 и давление р2 кислорода после того, как из баллона будет очень быстро выпущена половина газа.

9-28. Некоторое количество идеального газа с трехатомными жесткими мо- лекулами перешло адиабатически из состояния с температурой Т1 = 280 0К в со- стояние, характеризуемое значениями параметров: Т2 = 320 0К; р2 = 2·105 Па; V2 = 50 л. Какую работу совершает при этом газ?

9-29. Идеальный газ (с γ = 1,40), находившийся первоначально при температуре t1 = 0 0С, подвергается сжатию, в результате чего: 1) объем газа

88

уменьшается в 10 раз; 2) давление газа увеличивается в 10 раз. Считая процесс сжатия адиабатическим, определить, до какой температуры t2 нагревается газ вследствие сжатия.

9-30. Изохорная и изобарная удельные теплоемкости соответственно равны 3,14·103 Дж/кг·К и 5,23·103 Дж/кг·К. Найти молярную массу газа, а также количе- ство атомов в молекуле этого газа.

10. Круговые процессы. Цикл Карно. Изменение энтропии

Примеры решения задач

Задача 1. На рисунке изображен идеализиро- ванный цикл бензинового двигателя внутреннего сгорания. Участок 1-2 соответствует адиабатному сжатию горючей смеси; участок 2-3 – изохорному сгоранию топлива, когда рабочее тело получает количество теплоты Q; участок 3-4 соответствует адиабатному расширению рабочего тела; участок 4-1 – изохорному выхлопу отработавших газов. Выразить КПД двигателя через степень сжатия газа

х = V2/V1.

Ре ш е н и е:

КПД цикла η = A . Поскольку на изохорных участках работа равна нулю, то

Q

полезная работа равна разности работ адиабатного расширения и сжатия:

A = mμ CV (T3 − T4 ) − mμ CV (T2 − T1 ) = mμ CV (T3 − T2 + T1 − T4 ).

Рабочее тело получает количество теплоты при изохорном сгорании топли-

ва

Q = mμ CV (T3 − T2 ).

Итак,

η = 1 − T4 − T1 .

T3 − T2

Запишем уравнение Пуассона для участков 1-2 и 1-4:

89

Разделив первое равенство на второе, получим

T2 / T3 = T1 / T4 .

Преобразовав выражение для КПД, приведем его к виду:

Задача 2. Температура пара, поступающего в паровую машину, t1 = 130 0С; температура в конденсаторе t2 = 25 0С. Определить теоретически максимальную