Задача 6. Тонкий однородный стержень длины l и массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловое ускорение и угловую скорость при прохождении стержнем положения равновесия.
Дано: Решение
l, m
ε = ? ω = ?
П = 0
На стержень действует сила тяжести, приложенная в центре масс, и сила реакции оси. Вращающий момент создает только сила тяжести, так как линия действия силы реакции проходит через ось вращения. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
Jε = mg |
l |
, |
(1) |
|
2 |
||||
|
|
|
где J – момент инерции стержня относительно оси О (по теореме Штейнера).
|
ml2 |
l |
|
2 |
ml |
2 |
||
J = |
|
+ m |
|
|
= |
|
. |
|
12 |
2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Если рассматривать движение стержня как движение в поле силы тяготения Земли, то по закону сохранения энергии
ЕА = ЕВ,
т. е. |
|
|
|
|
|
|
mg |
|
l |
= |
Jω2 |
. |
(2) |
2 |
|
|||||
|
2 |
|
|
|||
Решая полученную систему уравнений (1) и (2), находим |
|
|||||
ε = 3g |
, |
ω = |
3g . |
|
||
2l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
54 |
|
|
|