состояния) для двух состояний газа:

Задача 5 . В закрытом баллоне объема V1 = 2 л находится воздух, давление которого р1 = 0,53·105 Па при комнатной температуре. Затем баллон опускают в воду той же температуры и на глубине h = 1,2 м открывают. Какой объем воды V войдет в баллон, если атмосферное давле-

ние р0 = 0,99·105 Па?

3 . 2 . ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n = n0e−UkT ,

где п – концентрация частиц;

U – их потенциальная энергия;

п0 – концентрация частиц в точках поля, где U = 0; k – постоянная Больцмана;

77

T – термодинамическая температура;

е– основание натуральных логарифмов.

2.Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

где р – давление газа; т – масса частицы; µ – молярная масса;

h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 – давление на этом уровне;

g – ускорение свободного падения;

R– универсальная газовая постоянная.

3.Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х + dх, равна

dW (x)= f (x)dx,

где f (х) – функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х + dх,

dN = NdW (x)= N f (x)dx.

5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до

v + dv,

где f (v) – функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале;

N – общее число молекул; т – масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до и + dи,

где u = v / vв – относительная скорость, равная отношению скорости v к

наивероятнейшей скорости vв;

f (и) – функция распределения по относительным скоростям.

6.Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа

вединицу времени,

z = 2 πd 2n v ,

где d – эффективный диаметр молекулы; п – концентрация молекул;

v – средняя арифметическая скорость молекул.

7. Средняя длина свободного пробега молекул газа

8. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

dp = η(dv / dz)∆ S dt,

где η – динамическая вязкость газа;

dv / dz – градиент (поперечный) скорости течения его слоев; ∆S – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.

9. Динамическая вязкость

η=1 3ρ v l ,

где ρ – плотность газа (жидкости);

v – средняя скорость хаотического движения его молекул;l – их средняя длина свободного пробега.

10. Закон Ньютона

F = dp / dt = η(dv / dz)∆S,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. 11. Закон Фурье

∆Q = −K (dT / dx)S ∆t,

где ∆Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S – за время ∆t;

К – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры.

79

12. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

K =1 3cV ρ v l , или K =1 6 kn v l ,

где сV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа;

v – средняя арифметическая скорость его молекулы;l – средняя длина свободного пробега молекул.

13. Закон Фука

∆m = −D (dndx)m1S ∆t ,

где ∆т – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время ∆t;

D – коэффициент диффузии;

dndx – градиент концентрации молекул; т1 – масса одной молекулы.

14. Коэффициент диффузии

D = 13 v l .

80

Примеры решения задач

Задача 1 . Какая часть молекул кислорода, находящегося при температуре Т = 300 °К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше, чем на 4 м/с.

u = vvв,

где v – данная скорость;

vв – наиболее вероятная скорость.

Уравнение (1) справедливо при условии ∆u << u. По условию задачи v = vв, следовательно, u = vvв =1 и уравнение (1) примет вид

Сначала убедимся, что ∆u << u. Так как u = vvв, то

pV = mµ RT,

откуда

Vm =ρ = RTpµ .

Подставив выражения для v , l , cV и ρ выразим К:

где T =T1 +T2 2.

Тогда поток тепла через единичную площадь будет равен

84

4. ТЕРМОДИНАМИКА

4 . 1 . ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Основные формулы

1. Связь между молярной (Сµ) и удельной (с) теплоемкостями газа

Cµ = cµ,

где µ – молярная масса газа.

2. Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны

CV = iR / 2, Cp = (i + 2)R / 2,

где i – число степеней свободы;

R– универсальная газовая постоянная.

3.Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны:

cV = 12 µR , cp = i +22 µR .

6. Внутренняя энергия идеального газа

U = N ε , или U = нCV T,

где ε – средняя кинетическая энергия молекулы; N – число молекул газа;

ν – количество вещества.

∆U = 2i mµ R (T2 −T1 ) – изменение внутренней энергии.

85