15. Сформулируйте определения параметрических и непараметрических критериев при тестировании гипотез. Критерий согласия хи-квадрат. Определение и применение.

Критерий различия называют параметрическим, если он основан на конкретном типе распределения генеральной совокупности (как правило, нормальном) или использует параметры этой совокупности (средние, дисперсии и т.д.).

Критерий различия называют непараметрическим, если он не базируется на предположении о типе распределения генеральной совокупности и не использует параметры этой совокупности,

Параметрические критерии используются в задачах проверки параметрических гипотез и включают в свой расчет показатели распределения, например, средние, дисперсии и т.д. Это такие известные классические критерии, как критерий Стьюдента, критерий Фишера и др. Они позволяют сравнить основные параметры генеральных совокупностей, а также оценить разности средних и различия в дисперсиях. Критерии способны выявить тенденции изменения признака, оценить взаимодействие двух и более факторов в воздействии на изменения признака

Непараметрические критерии проверки гипотез основаны на операциях с другими данными, в частности, частотами, рангами и т.п. Это - критерий Манна-Уитни, критерий Уилкоксона и многие другие. Непараметрические критерии позволяют решить некоторые важные задачи, связанные с выявлением различий исследуемого признака, с оценкой сдвига значений исследуемого признака, выявлением различий в распределениях.

Как параметрические, так и непараметрические методы, используемые для сравнения результатов исследований, т.е. для сравнения выборочных совокупностей, заключаются в применении определенных формул и расчетов определенных показателей в соответствии с предписанными алгоритмами. В конечном результате рассчитывается определенная числовая величина К (эмпирическая), которую сравнивают с табличными пороговыми значениями Ккр (критическими).

Критерий согласия Пирсона или критерий согласия χ2 (хи-квадрат) — непараметрический метод, который позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы. Выражаясь проще, метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей).

Является наиболее часто употребляемым критерием для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки x₁ , x₂ , . . . , x_n объёмом n некоторому теоретическому закону распределения F ( x , θ ).

Предположим, мы бросаем монету 100 раз и ожидаем, что она выпадет орлом 50 раз и решкой 50 раз. Однако на самом деле мы получаем 60 орлов и 40 решек.

Наблюдаемые частоты: Орел = 60, Решка = 40

Ожидаемые частоты: Орел = 50, Решка = 50

Статистика хи-квадрат = ((60-50)² + (40-50)²)/50 = 4

Критическое значение хи-квадрат с 1 степенью свободы при уровне значимости 0,05 равно 3,841.

Поскольку наша статистика хи-квадрат (4) больше критического значения (3,841), мы отклоняем гипотезу о том, что монета честная.