Lektsii_TAU

наиболее важное. В результате главную цель приходится сопровождать заданием дополнительных целей.

Модель «чёрного ящика» подчёркивает полное отсутствие сведений о структуре системы и её свойствах. Эти свойства можно частично определить, если проанализировать входы и выходы системы и установить между ними взаимосвязь. Эта проблематика решается с помощью регрессионного анализа и методики планирования эксперимента.

Будем называть входные величины x1,x2,...xk факторами. Считаем, что единственный выход системы у соответствует его целевой функции (результату). Это ограничение не упрощает систему, т.к. изложенную методику можно применить для любого выхода системы. Входы системы xi могут быть как детерминированными, так и случайными. Выход у всегда будет иметь случайный характер хотя бы из-за погрешности эксперимента. Будем представлять величину у в виде суммы детерминированной и случайной составляющих

Составляющую ξ будем считать случайной величиной, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. В этом случае детерминированная составляющая f(x1,...xk) будет представлять собой условное математическое ожидание значения у при данных значениях факторов x1,х2,...xk , т.е.

рассматриваться как точка в k-мерном пространстве переменных x1,...xk, называемом далее факторным пространством.

Целью дальнейшего рассмотрения является определение по данным эксперимента вида зависимости (2), которая представляет собой некоторую поверхность в факторном пространстве, называемую поверхностью отклика.

Для дальнейшего анализа удобно функцию f(x1,...xk) вблизи рабочей точки разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь конечным числом членов разложения приходим к представлению функции отклика полиномом конечной степени

Это выражение можно представить в более компактном виде, введя фиктивную переменную х0=1 и заменив произведения переменных новыми переменными по правилу:

x12=xk+1; x22=xk+2 ... xk2=x2k;

11

x1x2=x2k+1; x1x3=x2k+2 ...

С учётом вновь введённых обозначений уравнение (3) принимает вид

i=0

В дальнейшем индекс ( ′ ) будем опускать, считая, что поверхность отклика задаётся уравнением вида (4) с k переменными. Уравнение вида (4) получило название уравнения регрессии и входящие в него коэффициенты βi называются коэффициентами регрессии.

Задача регрессионного анализа состоит в экспериментальном определении коэффициентов регрессии путём наблюдения за характером изменения входных переменных x1,...xk и выходной переменной у. Этой цели могут служить методы пассивного и активного экспериментов.

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых параметров в процессе нормальной работы системы без внесения каких-либо преднамеренных возмущений.

Активный эксперимент основан на использовании искусственных возмущений, вводимых в систему по заранее спланированной программе.

Каждый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки.

При активном эксперименте введение искусственных возмущений позволяет целенаправленно и быстро вскрывать нужные зависимости между параметрами, нащупывать области оптимального режима работы. Однако введение искусственных возмущений может привести к нарушению нормального хода процесса.

При пассивном эксперименте вмешательства в ход процесса не происходит, и экспериментатор просто ожидает проявления интересующих его закономерностей, что значительно удлиняет время эксперимента. При этом математическое описание получается лишь для области, близкой к рабочей точке объекта, которая может существенно отличаться от оптимального режима.

При ограниченном числе экспериментов невозможно осуществить точное определение коэффициентов регрессии βi и приходится ограничиваться определением оценок βˆ i = bi этих коэффициентов. При этом вместо (4) получится уравнение регрессии вида

i=0

которое определяет не математическое ожидание `у, а оценку математического ожидания yˆ .

12

ЛЕКЦИЯ №3

МЕТОДИКА ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Планирование эксперимента лежит в основе проведения активного эксперимента. Возникает вопрос, каким же образом находить наиболее эффективный план эксперимента, обеспечивающего исследование свойств объекта управления. Ответ на этот вопрос даёт теория планирования эксперимента (Финни Д. «Введение в теорию планирования эксперимента», М., Наука, 1970). В частности, в регрессионном анализе эффективными методами являются полный факторный эксперимент и дробные реплики от него.

а) Полный факторный эксперимент:

Допустим, что мы имеем дело с двумя независимыми входными переменными (двумя факторами) х1 и х2, каждую из которых варьируем на двух уровнях, условно обозначим +1 и –1 или (+) и (-).

Предположим, что нас интересует уравнение регрессии, в котором отражено влияние на Y не только факторов х1 и х2, но и их взаимодействии. Тогда уравнение регрессии запишется в виде

yˆ = b0 x 0 + b1 x1 + b 2 x 2 + b12 x1 x 2

где, как и раньше х0=1.

Легко видеть, что возможные комбинации двух факторов будут исчерпаны четырьмя опытами, указанными в таблице

Планирование 22

Данный эксперимент называется полным факторным экспериментом, поскольку в нём полностью использованы все возможные сочетания уровней обоих факторов. Данному способу планирования присвоено условное обозначение 22 – два уровня планирования для двух факторов. Если производится планирование на m уровнях для n факторов, то полный факторный эксперимент насчитывает mn комбинаций. Мы в дальнейшем ограничимся планированием на двух уровнях, т.е. планированием вида 2n.

Для отдельных опытов в факторном эксперименте используются специальные кодовые обозначения. В этих обозначениях указывается, какие из факторов в данном опыте принимают значения верхнего уровня, т.е. (+). Для обозначения верхнего уровня факторов х1 и х2 используются буквы a и

15

b латинского алфавита. Если рассматривается большее число факторов, например, х3 и х4, то для обозначения их верхнего уровня используются последующие буквы латинского алфавита c и d. Опыт, на котором все факторы принимают значение нижнего уровня (-), обозначаются (1). С помощью этих обозначений легко написать матрицу планирования просто в ви-

де строки 1, a, b, ab.

В рассмотренном случае число опытов (четыре) равно в точности числу неизвестных коэффициентов регрессии. Однако при этом не остаётся степеней свободы для проверки гипотезы об адекватности модели. Часто есть основание предполагать, что эффект взаимодействия переменных, выражаемый членом b12x1x2 незначителен и можно положить b12=0 и записать уравнение регрессии в виде

yˆ = b0 x 0 + b1x1 + b 2 x 2

Теперь из четырёх опытов нужно определить только три коэффициента и остаётся одна степень свободы для проверки адекватности гипотезы.

Перейдём к рассмотрению случая трёх переменных х1, х2, х3, варьируемых на двух уровнях и описываемых матрицей планирования 23, и количеством опытов, равным восьми.

Планирование 23

Вместо того, чтобы выписывать всю матрицу, можно просто записать её кодовое обозначение

Заметим, что матрица планирования 23 получается из матрицы 22, повторённой дважды при х3 на нижнем (-) и верхнем (+) уровнях. Если нужно включить четвёртый фактор, то аналогичным образом повторяется матрица планирования для трёх факторов при значениях четвёртого фактора на нижнем и верхнем уровнях.

Эксперимент, проведённый на матрице планирования 23, даёт возможность определить восемь коэффициентов регрессии. При этом, правда, отсутствуют степени свободы для проверки на адекватность. Однако во

16

многих случаях эффектами парных и тройных взаимодействий пренебрегают и ограничиваются линейным приближением уравнения регрессии

yˆ = b0 x 0 + b1 x1 + b 2 x 2 + b3 x 3

При этом для проверки гипотезы остаются четыре степени свободы.

Для рассмотрения других матриц планирования введём новые переменные для обозначения парных и тройных взаимодействий, как показано в таблицах. При этом нетрудно видеть, что значения хil (i-той переменной в эксперименте l) обладает следующими свойствами:

Эти свойства называют условием ортогональности матрицы планирования: скалярное произведение любых двух столбцов матрицы равно нулю. С учётом отмеченных свойств система нормальных уравнений (7) принимает значительно более простой вид, а именно

откуда находятся простые соотношения для определения коэффициентов регрессии:

б) Понятие дробных реплик:

Рассмотрим теперь более полно случай, когда пренебрегают эффектами парных, тройных и более взаимодействий, т.е. ограничиваются моделями линейного приближения. Поскольку при линейной модели число неизвестных коэффициентов регрессии n=k+1, а число опытов в полном факторном эксперименте 2k, то превышение числа опытов на число неизвестных резко возрастает с увеличением k. Так при k=6 имеем N=64, n=7 и число степеней свободы N-n=57. Очевидно, что в этих случаях можно значительно уменьшить число опытов. Однако возникает вопрос, какие из N=2k опытов следует оставить, чтобы сохранить высокую эффективность эксперимента? Ответ на этот вопрос даёт понятие дробных реплик.

Рассмотрим задачу с тремя переменными, в которой линейные эффекты выражаются четырьмя коэффициентами регрессии b0, b1, b2, b3. Для их определения необходимо всего четыре опыта. Что же это должны быть за опыты? Четыре опыта можно получить, поставив полный факторный эксперимент только для двух переменных, например х1 и х2, т.е. использовав планирование 22. Но поскольку в каждом нужно задавать ещё и уровни третьего фактора х3, то их можно получить, связав х3 с х1 и х2, например, задав y3 по закону y3=x1x2. При этом получится матрица планирования для трёх факторов полностью совпадающая с матрицей планирования 22 и к которой добавлен столбец х3=х1х2. Легко видно, что эта таблица представ-

17

ляет собой половину таблицы 23, называемую полурепликой. Можно использовать и другую полуреплику. В случае, если количество факторов в эксперименте больше 3, то можно использовать четверть реплики или ещё более дробное разбиение.

Рассмотрим три принципа, лежащих в основе построения дробных реплик:

1.Поскольку наиболее эффективным видом эксперимента является полный факторный эксперимент, то в основу дробной реплики положен полный факторный эксперимент с k-l переменными.

2.Для определения того, какие значения в каждом из опытов придавать оставшимся l переменным, эти переменные выражаются через основные с помощью некоторых соотношений, называемых генерирующими соотношениями. Выбор того или иного генерирующего соотношения определяет план эксперимента.

3.При выборе наиболее предпочтительного генерирующего соотношения следует исходить из того, что мы получаем не коэффициенты регрессии в чистом виде, а лишь оценки для некоторых совместных эффектов, и поэтому необходимо стремиться, чтобы совместные эффекты в наименьшей степени влияли на определяемый ко-

эффициент регрессии.

Таким образом, модель «чёрного ящика» совместно с регрессионным анализом и методом планирования эксперимента позволяет определить формальную модель поведения системы, т.е. математически увязать входные и выходные переменные системы. Очевидно, что вопросы, касающиеся внутреннего устройства системы невозможно решить только с помощью модели «чёрного ящика». Для этого необходимы более развитые, более детальные модели.

МОДЕЛЬ СОСТАВА СИСТЕМЫ

При рассмотрении любой системы обнаруживается, что её целостность и обособленность выступает как внешнее свойство. Внутри система оказывается неоднородной и можно различить составные части. При более детальном рассмотрении некоторые части могут быть, в свою очередь, разбиты на составные части и т.д. Те части которые мы рассматриваем как неделимые, будем называть элементами. Части системы, состоящие более чем из одного элемента, назовём подсистемами. При необходимости можно ввести термины, указывающие на иерархию частей, например, подсистема такого-то уровня. В результате получается модель состава системы

18

Система

элемент

Подсистема элемент

элемент

Рис.1 Модель состава системы.

Построение модели состава системы только на первый взгляд кажется простым делом. Если дать разным экспертам задание определить состав одной и той же системы, то результат будет различным. Причины этого состоят не только в том, что у них может быть различная степень знания системы: один и тот же эксперт при разных условиях может дать разные модели. Существует по крайней мере ещё три важные причины этого факта.

Во-первых, разные модели состава получаются вследствие того, что понятие элементности можно определить по-разному. То, что с одной точки зрения является элементом, с другой оказывается подсистемой, подлежащей дальнейшему разделению.

Во-вторых, модель состава является целевой, а для различных целей один и тот же объект потребуется разбивать на разные части.

В-третьих, модели состава различаются потому, что всякое разделение целого на части, системы на подсистемы, является относительным, условным. Другими словами границы между подсистемами условны, относительны, модельны.

МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ

Для исследования системы недостаточно знать составляющие её части, необходимо ещё правильно соединить их, т.е. установить связи между элементами – отношения. Совокупность необходимых и достаточных для

19

достижения цели отношений между элементами называется структурой системы. Бесконечность природы проявляется и в том, что между реальными объектами, вовлечёнными в систему, имеется невообразимое количество разнообразных отношений. В модель структуры мы включаем только ограниченное число связей, которые по нашему мнению, существенны по отношению к рассматриваемой цели.

Все элементы системы и все связи между элементами образуют ещё одну модель системы – структурную схему. В структурную схему включаются связи между элементами внутри системы, а также связи определённых элементов с окружающей средой – входы и выходы системы.

Структурная схема системы является наиболее подробной и полной моделью любой системы.

Разрабатываемые модели должны отражать поведение систем, описывать происходящие в них процессы. Наиболее подходящими для этой цели являются математические модели систем. Математическая модель системы

– это её описание на математическом языке. Для того, чтобы сформулировать модель некоторого объекта, прежде всего, необходимо указать список переменных модели, т.е. нефиксированных заранее величин, описывающих ту или иную сторону моделируемого явления. При этом надо указать какие значения могут принимать переменные и какие преобразования можно производить над ними.

Рассмотрим основные типы математических моделей, используемых в системах.

Статические модели В тех случаях, когда изменение переменных во времени не описыва-

ется, модели называют статическими. Различают линейные и нелинейные статические модели.

Линейные статические модели.

Переменные обозначим через x1, x2,…x n. Предполагается, что эти переменные принимают вещественные значения. Связи в линейной модели в соответствии с её названием имеют вид линейных равенств и неравенств.

j=1

где aij и bi – заданные числа.

Или в векторной форме система уравнений (1), (2) записывается в ви-

20