Приложение
Некоторые параметрические семейства распределений
1. Равномерное распределение Ua;b. Функция плотности распреде-
ления и моменты распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ua;b(t) = 8 |
|
1 |
; t 2 [a; b]; |
|
|
MX = |
a + b |
; |
DX = |
(b a)2 |
|
|||||||||||
|
b |
a |
; |
: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
<0; t |
|
|
[a; b] |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
12 |
|
|||||||
|
: |
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Функция плотности распре- |
||||||||||
|
Показательное распределение E |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
деления и моменты распределения: |
MX = ; DX = 2: |
|
|||||||||||||||||||||
|
e (t) = |
(0; t 0; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e t; t > 0; |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Гамма-распределение ; . Функция плотности распределения: |
||||||||||||||||||||||
|
; (x) = 8 +1 ( + 1)x e ; x > 0 ; > 1; > 0: |
|
|||||||||||||||||||||
|
< |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||||||
Моменты распределения:: |
MX = ( + 1) ; DX = 2( + 1): |
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Распределение Пуассона ( > 0): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
P (X = m) = |
me |
(m = 0; 1; 2; :::) MX = ; DX = : |
|
|||||||||||||||||||
|
m! |
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
Геометрическое распределение Gp: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
P (X = k) = (1 p)kp; |
p 2 (0; 1); k = 0; 1; 2; ::: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
MX = |
1 p |
; DX = |
1 p |
: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
||||
6. |
Биномиальное распределение Bpn: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P (X = k) = Cknpk(1 p)n k (0 k n);
83
MX = np; DX = np(1 p):
7. Нормальное распределение Na; 2 . Функция плотности распределения и моменты распределения:
1 |
e |
(x a)2 |
|||
f(x) = |
p |
|
2 2 |
; MX = a; DX = 2 |
|
|
|||||
2
8.Бета-распределение m;n. Функция плотности распределения:
m;n(x) = |
8 |
(m) |
(n)xm 1(1 x)n 1 |
; |
x 2 (0; 1) |
|
< |
(m + n) |
|
|
|
|
|
0; |
|
x (0; 1); |
|
где m > 0; n > 0: |
: |
|
|
|
62 |
m mn
Моменты распределения: MX = m + n; DX = (m + n)2(m + n + 1):
9. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределе-
ние. Функция плотности распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
l(x) = |
8 x p2 e |
|
2 2 ; x > 0; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(ln x a)2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
< |
|
0; |
|
|
x |
|
|
0: |
|
|
|||||
Моменты распределения: |
: |
|
2 |
+a |
; DX = e |
2+2a |
(e |
2 |
1): |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
2MX = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. Распределение n. Функция плотности распределения: |
|||||||||||||||||||||
hn(x) = |
8 22 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
n = 1; 2; : : : |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
xn2 1e x2 при |
x > 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
< 0 |
|
|
|
|
|
|
при |
x 0: |
|
|
|
|
|
||||||
Моменты |
распределения: MX = n; DX = 2n: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Распределение Стьюдента Tn. Функция плотности распреде-
ления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
((n + 1)=2) |
|
1 |
|
|
|
|||||
tn(x) = |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
; n = 1; 2; : : : |
||
(n=2) |
(1 + x2=n)(n+1)=2 |
|||||||||||
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
MX = 0; DX = |
n |
; n > 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n 2 |
||||||||
12. Распределение Фишера Fk;m. Функция плотности распределе-
ния: |
|
|
|
|
|
||
|
k |
k=2 ((k + m)=2) |
xk=2 1 |
||||
fk;m(x) = |
|
|
|
|
|
|
; x > 0; k; m > 0 |
m |
(k=2) (m=2) |
(1 + kx=m)(k+m)=2 |
|||||
84
MX = |
m |
; m > 2; DX = |
2m2(k + m 2) |
; m > 4 |
|
m 2 |
k(m 2)2(m 4)2 |
||||
|
|
|
13. Распределение Коши Km;n, Функция плотности распределения:
1 m
km;n(x) = m + (x n)2; m > 0; 1 < n < 1
MX и DX не существуют.
85
Библиографический список
1.Боровков А.А. Математическая статистика. / А.А. Боровков. - М.: Изд-во "Лань" , 2010.- 703 с.
2.Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез. / А.А. Боровков. - М.: Наука, 1984.- 472с.
3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - М. : Высшее образование, 2007. - 478 с.
4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие/ В. Е. Гмурман. - М. : Высшая школа, 2005. - 404 с.
5.Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - М: Изд-во ЛКИ, 2010. - 600с.
6.Кирьянов Д.В. Mathcad 13. / Д.В. Кирьянов.- СПб.: БВХ-Петербург, 2006. - 608 с.
7.Лабораторный практикум по математической статистике [Электронный ресурс] : учебное пособие / Сиб. федерал. ун-т ; Вайнштейн И. И. [и др.]. - Красноярск : [б. и.], 2007 ИПК СФУ. - 80 on-line. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин СФУ в авторской редакции ; 161-2007).
8.Ширяев А.Н. Вероятность. /А.Н. Ширяев. - М. Изд. МЦНМО, 2007 г. - 968 с.
86