Исследование_Операций_ЛР2
.docxТаблица 6 – Итоговый вид таблицы, после оптимизации
Полученное решение ТЗ проверено средствами MS Excel. Для этого, в соответствии с Рисунком 2, выделено две таблицы. Первая содержит стоимости перевозок и количество груза, вторая предназначена для заполнения условий и поиска решения. Во второй таблице в качестве кол-ва груза в заявках и на складах указано суммирование по столбцам / строкам. Искомое решение записывается в зеленую ячейку, в ходе поиска будут меняться значения в пустых ячейках таблицы, а ограничения будут выставлены по суммам количества груза на складах и в заявках. Формула целевой функции: = СУММПРОИЗВ(N61:R63;N67:R70).
Рисунок 2 – Решение ТЗ в Excel: подготовка условий
Вызван поиск решений, параметры которого представлены на Рисунке 3.
Рисунок 3 – Параметры поиска решений
Результат выполнения поиска показан на Рисунке 4 и совпадает с найденным ранее.
Рисунок 4 – Найденное решение
Далее составлен опорный план ТЗ с ограничениями на пропускную способность по методу минимальной стоимости: в транспортной таблице ищут клетку с минимальной стоимостью перевозки cij; для этой клетки выполняют сравнение ai , bj и dij; по результатам сравнения выполняются те же действия, что и при использовании метода северо-западного угла; после рассмотрения первой из минимальных клеток переходят к поиску клетки следующей по минимальности стоимостью.
В данном случае минимальная стоимость у ячейки (A1;B3) или (A3;B2). Взята первая, так как так можно вывезти больше груза. Порядок изменения следующий:
Ячейка (A1;B3): выписано 12, Заявка 3: 13, Склад 1 : 18;
Ячейка (A3;B2): выписано 10, Заявка 2: 10, Склад 3: 17;
Ячейка (A1;B4): выписано 15, Заявка 4: 0, Склад 1: 3;
Ячейка (A2;B2): выписано 8, Заявка 2: 2, Склад 2: 20;
Ячейка (A3;B1): выписано 12, Заявка 1: 13, Склад 3: 5;
Ячейка (A2;B3): выписано 7, Заявка 3: 6, Склад 2: 13;
Ячейка (A1;B1): выписано 3, Заявка 1: 10, Склад 1: 0;
Ячейка (A2;B1): выписано 10, Заявка 1: 0, Склад 2: 3;
Ячейка (A3;B3): выписано 5, Заявка 3: 1, Склад 3: 0;
По итогу остался груз на 2-ом складе и две незакрытые заявки на 2 и 1 единицы. Поэтому, в соответствии с Рисунком 5 были введены дополнительные ячейки.
Рисунок 5 – Полученное распределение, где (A4;B5) вспомогательная клетка
Зеленым выделены закрытые заявки, красным – опорные клетки, желтым – пустые склады. Чтобы избавится от искусственных вспомогательных клеток произведена переброска:
Итак клетка (A4;B2) удалена, результат переброски приведен на Рисунке 6.
Рисунок 6 – Результат переброски 25—21—11—12—42—45—25
Теперь осталось избавиться от клетки (A4;B3). Выполнена следующая переброска:
Искусственных клеток не осталось, итоговый вид таблицы представлен на Рисунке 7. Итоговая стоимость перевозок составила 391.
Рисунок 7 – Решение ТЗ с ограничениями
Проверить оптимальность плана можно при помощи метода потенциалов.
На первом шаге алгоритма метода потенциалов назначаются псевдоцены всех строк и столбцов. Строке (столбцу) назначается нулевая псевдоцена. Псевдостоимость клетки транспортной таблицы Cij определяется как сумма псевдоцен строки i и столбца j. При этом считается, что если клетка уже включена в опорный план, ее псевдостоимость совпадает с реальной стоимостью.
В качестве 0-го столбца / строки берется тот, где больше опорных ячеек – в данном берется первая строка и получается система при C1j = 0:
Далее, по полученным псевдоценам строк определены псевдоцены оставшихся строк:
На следующем шаге определены псевдостоимости свободных клеток опорного плана, путем суммирования псевдоцен соответствующих строк и столбцов. Псевдостоимости свободных клеток записаны в левом нижнем углу ячеек таблицы, в соответствии с Рисунком 8. В левом нижнем углу записаны разницы между реальными и псевдостоимостями. Потенциалы записаны в правом нижнем углу.
Рисунок 8 – Метод потенциалов. Расставленные псевдоцены.
Выявляются клетки, в которых псевдостоимости превышают реальные стоимости. Такие клетки обладают потенциалом, соответствующим разности между их псевдостоимостями и реальными стоимостями:
В данном случае в клетке (A3;B2) получаем отрицательное значение потенциала в -4. Тогда для этой ячейки сделаем переброску:
Это позволит сэкономить 4 и итоговая стоимость перевозок составит 387, как показано на Рисунке 9.
Рисунок 9 – Выполнение переброски в целях оптимизации
На этом оптимизация завершена так как при повторном подсчете потенциалов нет псевдостоимостей, которые превышали бы реальные., итоговую сумму можно считать оптимальной. Для того, чтобы убедиться в этом задача с ограничениями решена средствами MS Excel. Для этого к исходным таблицам для поиска решений добавлена таблица с ограничениями и в параметры поиска введены эти ограничения, что приведено на Рисунке 10.
Рисунок 10 – Внесение ограничений в поиск решений
В соответствии с Рисунком 11 было найдено решение, совпадающее с результатом, рассчитанным вручную, это подтверждает нахождения оптимального плана ТЗ с ограничениями.
Рисунок 11 – Результат поиска решения для ТЗ с ограничениями
Вывод:
В ходе выполнения лабораторной работы получены навыки решения транспортных задач с ограничениями и без. В результате рассмотрения задачи были освоены такие методы решения как метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости, метод Фогеля.
Изучены способы оптимизации опорных планов ТЗ на примере выполнения перестановок перевозок по циклам отрицательных цен. При оптимизации задачи с ограничениями опробован метод потенциалов.
Для поставленных задач были найдены оптимальные решения, о чем свидетельствуют результаты поиска решений в MS Excel.