![](/user_photo/_userpic.png)
Какие-то билеты / Билет 17
.pdf![](/html/89449/144/html_63SaobAknn.e0iR/htmlconvd-q5KuhW1x1.jpg)
1.1. Математический и физический маятники
Вфизике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.
Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит
|
N |
небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. |
|
O |
Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , |
||
|
|||
|
|
образованным нитью с вертикалью (см. рис.). При отклонении маятника от |
|
|
положения равновесия возникает вращательный момент N, равный mglsin (m – |
||
|
|
масса, а l – длинна маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой
l силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту N и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки (рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта при <<1, противоположность знаков при N и можно объяснить тем, что векторы N и
mg направлены в противоположные стороны). Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: N=-mglsin .
Напишем уравнение динамики вращательного движения для маятника, учитывая, что момент инерции маятника равен ml2, а угловое ускорение равно ‖, получаем
ml2 mglsin gl sin 0 . Рассматривая малые колебания можем записать: sin .
Введем обозначение gl 20 .
Тогда мы придем к уравнению: 20 0 . Очевидно его решение имеет вид:
=acos(0t+ ).
Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.
При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен: : N=-mglsin, где m – масса маятника, а l – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника (см. рис.). Знак ―минус‖ имеет то же значение, что и в случае математического маятника.
Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать:
I mglsin
. В случае малых колебаний можем переписать уравнение:
20 0 . В данном случае через 20 обозначена следующая величина: 20 mglI
Примечание.
Если сравнить значения периодов колебания математического и физического маятника, то можно заметить, что математический маятник длинной lпр=I/(ml) будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Данную величину называют приведенной длинной физического
маятника.
Точка, лежащая на расстоянии приведенной длинны от оси вращения на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, называется центром качания физического маятника (см. точку O’).
2. Первое начало термодинамики.
При совершении одним телом работы А над другим, равно как и при сообщении одним телом другому теплоты Q, эти тела обмениваются внутренней энергией — энергия одного из тел увеличивается, а энергия другого на столько же уменьшается. Это следует из закона сохранения
![](/html/89449/144/html_63SaobAknn.e0iR/htmlconvd-q5KuhW2x1.jpg)
энергии. В термодинамике этот закон принято называть первым началом и записывать следующим образом: Q=U2—U1+A (1.5). Здесь U1 и U2 - начальное и коночное значения внутренней энергии тела (или системы тел), А - работа, совершенная телом (или системой), Q — количество сообщенной телу (системе) теплоты. Словами первое начало термодинамики формулирует! следующим образом:
количество теплоты, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и па совершение системой работы над внешними телами. Подчеркнем, что речь идет о разности конечного и начального значений внутренней энергии.
При вычислении совершенной системой работы или полученной системой теплоты обычно приходится разбивать рассматриваемый процесс на ряд элементарных процессов, каждый из которых соответствует весьма малому (в пределе — бесконечно малому) изменению параметров системы. Уравнение (1,5) для элементарного процесса имеет вид Q= U+ A ,где Q элементарное количество теплоты, A — элементарная работа и U — приращение внутренней энергии системы в ходе данного элементарного процесса. Весьма важно иметь в виду, что Q и A нельзя рассматривав как приращения величии Q и А. Соответствующее элементарному процессу какой-либо величины f можно рассматривать как приращение этой величины только в том случае, если f, соответствующая переходу из одного состояния в другое, не зависит от пути, по которому совершается переход, т.е. если величина f является функцией состояния. В отношении функции состояния можно говорить о ее «запасе» в каждом из состояний. Например, можно говорить о запасе внутренней энергии, которым обладает система в различных состояниях.
3. Давление идеального газа на стенку.
Стенки сосуда, в котором заключен газ, подвергаются непрерывной бомбардировке молекулами. В результате элементу стенки S сообщается за секунду некоторый импульс, который равен силе, действующей на S. Отношение этой силы к величине S дает давление, оказываемое газом на стенки сосуда. Вследствие хаотичности движения молекул давление газа на различные участки
стенок сосуда одинаково. Если предположить, что молекулы отскакивают от стенки по закону |
||||||||||||||||||||||||||||
зеркального отражения |
( отр |
пад) |
и модуль скорости молекулы не изменяется, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
то импульс, сообщаемый при ударе стенке молекулой, будет равен 2mvcos |
||||||||||||||||||||||||||||
(рис.; m — масса молекулы). Этот импульс направлен по нормали к площадке. |
||||||||||||||||||||||||||||
Каждая из dvv, , молекул сообщает стенке импульс |
2mvcos |
, |
а все эти мо- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
2mv |
2 |
cos |
2 |
S t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dKv, , 2mv cos dvv, , dNv |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
лекулы — ИМПУЛЬС |
|
4 |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Просуммируем полученное выражение по направлениям в пределах телесного |
||||||||||||||||||||||||||||
угла 2 . В результате получим импульс, сообщаемый молекулами, скорости |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mv2 S t / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
которых имеют модуль от v до v+dv: |
dK |
v |
dN |
v |
|
|
|
|
|
0 |
|
cos2 sin d |
0 |
|
d |
|||||||||||||
|
4 V |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dK |
|
|
dN |
|
|
mv2 |
S t |
||||
Интегрирование по d дает 2 , интеграл по |
равен 1/3. |
Следовательно, |
v |
v |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3V |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрировав это выражение по скоростям от 0 до vmax , получим полный импульс, сообщаемый |
||||||||||||||
|
|
|
m S t |
vmax |
|
|
|
|
1 |
vmax |
|
|
|
|
площадке S за время |
t: |
K |
|
0 |
v2dN |
v |
(2.26) |
Выражение |
|
0 |
v2dN |
v |
представляет |
|
3V |
N |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собой среднее значение квадрата скорости молекул. Заменив в (2.26) интеграл произведением N<v2> |
|||||||||||||||||
|
|
|
K |
m S t |
|
N v2 |
1 |
nm v2 S t |
|
||||||||
получим, что |
|
|
|
(n=N/V есть число молекул в единице объема). |
|||||||||||||
|
|
|
|
3V |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Наконец, разделив |
это |
выражение на S и |
t, получим давление газа на стенки сосуда: |
||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
m v 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
p |
|
nm v 2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n E |
êèí |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|